Система с внешним шумом на входе

Система с внешним шумом на выходе

Рассмотрим систему, в которой некоррелированный внешний шум присутствует только на ее выходе (рисунок 2.3). Предполагаем, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю

.

Наблюдаемая реализация выходного процесса примет вид

, (2.28)

где – ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

– ненаблюдаемый некоррелированный выходной шум.

– наблюдаемый входной процесс; – наблюдаемый выходной процесс; – ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

– ненаблюдаемый выходной шум

Рисунок 2.3 – Система с внешним шумом на выходе

Произведение мгновенных значений наблюдаемого выходного процесса в два различных момента времени равно

,

откуда после усреднения получим следующее соотношение для ковариационных функций:

. (2.29)

В силу не коррелированности шума имеем

. (2.30)

В результате преобразования Фурье над выражением (2.29) с учетом (2.30) наблюдаемый выходной спектр мощности системы примет вид суммы идеального линейного выхода, порожденного преобразованием посредством, и шума на выходе, т.е.

, (2.31)

где – спектр мощности истинного (полезного) выходного процесса.

Для взаимной спектральной плотности наблюдаемых процессов на входе и выходе аналогично получим:

,

,

, (2.32)

где – взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Таким образом, согласно выражениям (2.31), (2.32), наблюдаемый выходной спектр мощности дает смещенную оценку истинного выходного спектра, а наблюдаемый взаимный спектр – несмещенную оценку.

Учитывая это, можно рассчитать спектральную плотность ненаблюдаемого истинного выходного процесса через регистрируемые процессы:

Произведение в правой части равенства

(2.33)

носит название когерентного спектра выходного процесса.

Соотношения (2.31)-(2.33) являются основными спектральными соотношениями для системы с внешним некоррелированным шумом на выходе.

Согласно выражению (2.33), функцию когерентности можно истолковать как долю спектра истинного выходного процесса в наблюдаемом выходном спектре:

. (2.34)

Выходной спектр шума тогда равен

(2.35)

и может быть интерпретирован как часть выходного спектра, не связанная с линейным преобразованием процесса на частоте.

Соотношения (2.34), (2.35) позволяют найти отношение шума к истинному сигналу на выходе системы:

, (2.36)

откуда следует, что при и при.

Рассмотрим второй случай, когда некоррелированный внешний шум присутствует только в измерениях входного процесса, не проходя при этом через систему (рисунок 2.4).

– наблюдаемый входной процесс; – наблюдаемый выходной процесс; – ненаблюдаемый истинный входной процесс;

– ненаблюдаемый входной шум

Рисунок 2.4 – Система с внешним шумом на входе

Предполагаем также, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю

.

Наблюдаемая реализация входного процесса принимает вид

, (2.37)

где – ненаблюдаемый истинный входной процесс;

– ненаблюдаемый некоррелированный входной шум.

Наблюдаемый входной спектр мощности с учетом некоррелированности и и выражения (2.37) состоит из суммы

. (2.38)

Поскольку внешний шум через систему не проходит, то справедливо равенство

. (2.39)

Для вывода выражения для взаимного спектра мощности наблюдаемых процессов на входе и выходе системы рассмотрим произведение мгновенных значений процессов в два различных момента времени

,

откуда

,

, (2.40)

где – взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Рассмотрим произведение функции когерентности между процессами и и наблюдаемым входным спектром:

.

Учитывая равенства (2.38), (2.39), получим:

,

что соответствует спектру ненаблюдаемого истинного входного процесса.

Произведение в правой части равенства

, (2.41)

носит название когерентного спектра входного процесса.

Отношение шума к истинному сигналу на входе рассматриваемой системы принимает вид, совпадающий с аналогичной величиной для системы с шумом на выходе:

.

К основным спектральным соотношениям для системы с некоррелированным внешним шумом на входе относятся выражения (2.39)-(2.41).

Дата добавления: 2014-01-06