КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Критерий Найквиста
Пусть W(s) - передаточная функция разомкнутой системы автоматического регулирования. Разомкнутую систему полагаем устойчивой. При замыкании выходной сигнал САР x(t) вычитается из входного g(t),образуя разность e(t)=g(t)-x(t). Пусть, далее, W(j) = U()+jV(). Критерий Найквиста формулируется следующим образом: Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой систем необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (годограф векторной функции W(j)) НЕ охватывала точку с координатами -1+j0. Годограф симметричен относительно мнимой оси (U() - четная) поэтому все сказанное верно и для <0. Доказательство. Докажем справедливость критерия для систем устойчивых в разомкнутом состоянии. Пусть W(jw)=K×N(jw)/L(jw) - частотная передаточная функция разомкнутой системы. Образуем вспомогательную функцию - В полученном выражении числитель - характеристический многочлен замкнутой системы, а в знаменателе - характеристический многочлен разомкнутой системы. - Поскольку степень N(jw) меньше степени L(jw) то степени многочленов числителя и знаменателя равны. Равными оказываются и коэффициенты в числителе и знаменателе при членах (jw)n. Следовательно, . Таким образом, W1(0)=W(0)+1, а W1(¥)=W(¥)+1=1+K, где K -коэффициент усиления разомкнутой системы.
- Предположим, что замкнутая система устойчива. Тогда при изменении w от нуля до +¥ аргумент числителя изменится на np/2. - При изменении w от нуля до +¥ аргумент знаменателя изменится на минус np/2. Знак минус появляется вследствие нахождения многочлена L(jw) в знаменателе (действительно - ejj/ejf=ej(j-f)). Следовательно, изменение аргумента функции W1(jw) при изменении w от нуля до +¥ будет равно нулю. Это уже фактически было показано выше: W1(0)=W(0)+1, W1(¥)=W(¥)+1=1+K – действительные, положительные числа.
Следовательно годограф W1(jw) не охватывает начало координат. - Тогда годограф функции W(jw)=W1(jw)-1 не охватывает точку (-1,j×0), что и требовалось доказать. Если амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет "клювообразный" вид, то тогда числа положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) пересечений оси абсцисс должны быть равны. В этом случае система может оказаться неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления в системе. "Клювообразным" годограф может характерен для астатических систем со степенью астатизма r>2 [2]. В этом случае неустойчивость может возникнуть как при увеличении так и при уменьшении коэффициента усиления САР. САР, которые устойчивы при значениях общего коэффициента усиления, лежащем в определенных пределах, называются условно устойчивыми. САР, которые устойчивы при любом значении общего коэффициента усиления, лежащем ниже некоторого максимально допустимого значения, называются абсолютно устойчивыми [2]. При использовании критерия устойчивости Найквиста необходимо убедиться в устойчивости разомкнутой системы. Неустойчивость разомкнутой САР может быть следствием наличия местных обратных связей. Проверка устойчивости местных замкнутых контуров может быть сделана с помощью любых критериев устойчивости (в том числе и с помощью критерия Найквиста). Другой причиной неустойчивости разомкнутой САР может быть включение в систему неустойчивых звеньев, например, неустойчивого колебательного звена и т.п. Вообще говоря, этого по возможности надо избегать, но в некоторых случаях это неизбежно. Так при разработке САР для магнитной подвески включение магнитной цепи с регулируемым зазором обязательно. Но это неустойчивое звено - чем меньше зазор тем, при отсутствии насыщения, больше сила притяжения.
С некоторыми усложнениями критерий Найквиста можно применять и к неустойчивым в разомкнутом состоянии САР [2]. Если САР астатическая, т.е. имеет интегрирующие звенья, то в разомкнутом состоянии она нейтральна, т.е. с течением времени не стремится к какому-то определенному положению (угол поворота оси двигателя остается произвольным при отсутствии напряжения на его входе). Сформулированный критерий справедлив и для этого случая, если вспомнить (см. Файл LINKS.DOC), что идеальное интегрирующее звено может быть получено из апериодического предельным переходом. При этом к годографу Найквиста надо добавить дугу окружности бесконечного радиуса (Рис.6). Физический смысл критерия для простейших случаев (имеется ввиду т.н абсолютно устойчивые системы) совершенно очевиден: среди всех частот от =0 до =¥ не должно быть ни одной частоты w0, которая при замыкании САР поступит на вход усиленной по амплитуде (и с фазовым сдвигом 180 градусов (j0(w)= p и точка -1+j0). При 180-градусном сдвиге обратная связь на частоте w0 превращается из отрицательной в положительную. Если к тому же модуль , то создаются условия для возбуждении колебаний на этой частоте. Достоинством критерия Найквиста заключается в том, что для определения устойчивости САР можно использовать экспериментально полученные амплитудно-фазовые характеристики. Это ценно в случае, когда ввиду сложности системы или ее звена получить соответствующее дифференциальное уравнение не представляется возможным. Из критерия Найквиста следует метод логарифмических частотных характеристик, который в ряде случаев позволяет оценить устойчивость и САР, качество регулирования и синтезировать корректиреющие звенья почти без вычислительной работы. В случае многоконтурной САР ее размыкание для получения передаточной функции разомкнутой системы может быть сделано в произвольном месте. Если, однако, с системе имеется один вход и один выход, то при размыкании системы на входе первого звена получим главную передаточную функцию разомкнутой системы, связывающую входной и выходной сигналы. Именно эта передаточная функция рассматривается при определении качества регулирования и при синтезе корректирующих звеньев.
Годограф устойчивой в замкнутом состоянии САР позволяет оценивать и качество регулирования по запасам устойчивости по фазе и по усилению. Запасом устойчивости по амплитуде (усилению) - это расстояние между критической точкой (-1,j0) и ближайшей к ней точкой пересечения годографа с отрицательной полуосью абсцисс. Для хорошо демпфированных систем этот запас более 6 дБ [4,5]. Запас устойчивости по фазе (m0 ) - это угол между вектором W(jwc) (wc - частота среза, ½W(jс)½=1) и отрицательной полуосью абсцисс. Его определяют как угол m0=180-j0(wс) градусов. В хорошо демпфированных системах этот угол лежит в пределах 30-60 градусов. Если на частоте среза фазовый сдвиг меньше 180 градусов, то говорят об избытке фазы [5]. В соответствии с заданными запасами устойчивости можно определить запретную область, которую не должен пересекать годограф. Для условно устойчивых САУ запас устойчивость по модулю определяется с двух сторон - запас при увеличении и запас при уменьшении усиления. В соответствии с критерием Найквиста фазовый сдвиг при частоте среза не должен быть равен 180 градусам. Если (wc)>-p/2 (например, (wc)= -120 градусов), то говорят, что система имеет избыток фазы. Избыток фазы означает, что система допускает появление некоторого дополнительного запаздывания без потери устойчивости. Анализ ЛАЧХ и ЛФЧХ позволяет судить об устойчивости САР, запасах устойчивости, а так же, как это будет показано позже, синтезировать корректирующие звенья для улучшения качества регулирования.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1458; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |