Решение уравнений методом простой итерации

Решение уравнений методом итерации

Алгоритмы решения математических задач

Лекция 8

Функции действия над строками

SWAP A, B

SWAP A, B

Оператор SWAP

Оператор EXIT

END SELECT

EXIT{DO|FOR|DEF|SUB|FUNCTION}

Оператор выхода из

- цикла DO,

- цикла FOR,

- функции DEF FN,

- процедуры типа SUB,

- процедуры типа FUNCTION.

С помощью этого оператора можно, например, выйти из цикла FOR – NEXT до исчерпания значения счетчика.

Оператор обменивает значения двух переменных

Синтаксис:

А и В – переменные одного типа данных

Пример:

A=1: B=2

PRINT “До: ”; A, B (будет выведено: 1 2)

PRINT “После: ”; A, B (будет выведено: 2 1)

LEN(X$) – возвращает длину строки(в байтах).

х$= “студент” а% = LEN(х$) = 7

LEFT$(X$, n) – возвращает подстроку, содержащую n крайних левыхсимволов строки: b$ = LEFT$(x$, 2) = ‘ст’

RIGHT$(X$, n) - возвращает подстроку, содержащую n крайних правыхсимволов строки: b$ = LEFT$(x$, 3) = ‘ент’

STR$(z%) – возвращает строковое значениеуказанного аргумента (z%) целого типа

VAL(x$) – возвращает числовое представление строки

MID$(x$, n [, l]) – возвращает заданной длины “l” подстроку исходной строки x$, начиная с указанного символа n (b$ = MID$(x$, 4, 3) присваивает b$ значение “ден” из слова «студкент»)

RTRIM$(x$) – возвращает копию строки с удаленными замыкающими строку пробелами (удаляет пробелы справа)

LTRIM$(x$) – возвращает копию строки с удаленными лидирующими пробелами (удаляет пробелы слева)

INSTR([n,] строка 1, строка 2) – выполняет поиск первого вхождения одной строки в другую строку и возвращает позицию начала вхождения (х$= “преобразование” y = INSTR(x$,”образ”) = 4)

INPUT$(n) – ввод n символов, без нажатия Enter

Если решить уравнение в аналитическом виде затруднительно или невозможно, то оно всегда может быть решено на компьютере численным методом. Численный метод позволяет получить лишь приближенное решение уравнения. Однако это приближение может быть получено практически с любой заданной точностью.

Большинство численных методов решения уравнений являются итерационными. Это означает, что решение достигается последовательными шагами приближения к истинному значению корня (корней) уравнения. При этом увеличение числа шагов делает приближение все более точным.

Разработано много методов и алгоритмов численного решения уравнений. Рассмотрим два из них – метод простой итерации и метод половинного деления.

Для решения уравнения f(x)=0 его преобразуют к виду x = f₁(x). Задав некоторое начальное значение корня х = х_н, вычисляют значение f₁(x). Это значение принимают в качестве нового значения корня х. С этим новым значением х вычисляют новое значение функции f₁(x). И так продолжают до тех пор, пока разница между очередными значениями х не станет меньше заданной точности вычисления.

Пример:

Найти корень уравнения x – cos(x) = 0 с точностью E.

Алгоритм решения. Преобразуем наше уравнение к виду x = cos(x). Для пояснения алгоритма введем обозначение х₁ для аргумента функции cos(х₁). Уравнение примет вид x = cos(x₁). Зададим начальное значение х₁ и, подставив его в уравнение, вычислим значение х. Далее приравняем значению х₁ вычисленное значение х. После этого подставим новое значение х₁ в уравнение и вычислим новое значение х. Опять приравняем значению х₁ вычисленное значение х. И снова, подставив новое значение х₁ в уравнение, вычислим новое значение х. Это будем повторять до тех пор, пока различие между очередными значениями х не станут меньше заданной точности E. Тогда полученное значение х и будет корнем заданного уравнения с точностью E.

Поясним физический смысла выполненных нами действий по итерационному решению уравнения рисунком (см. рис. 13).

Рис. 13 Решение уравнения методом простой итерации

Отметим, что решение уравнения таким методом будет найдено, если процедура итерации сходящаяся, т.е. представленная на рис. 13 спираль закручивается в точку, а не раскручивается (в этом случае цикл итераций становится бесконечным). Будет ли процедура такой итерации сходящейся, зависит от вида решаемого уравнения.

Кроме того, скорость решения (число шагов итерации) и сходимость процедуры сильно зависят от того, насколько близко к истинному значению выбрано начальное значение корня уравнения.

Дата добавления: 2014-01-06