Выборки и случай

Представим 8! в виде: или.

ПОНЯТИЕ ФАКТОРИАЛА

ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО КОМБИНАТОРИКИ

Одним из основных вопросов, на который отвечает комбинаторика, это вопрос: «А сколькими способами можно выполнить то или иное действие?» Первый шаг к ответу на этот вопрос – основное правило комбинаторики – правило произведения.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n ₁ способами, второе – n ₂ способами и т.д., то все k действий могут быть выполнены n ₁ n ₂ n ₃… n _k способами.

Пример 1.1. Из Москвы в Париж ведут 4 пути, а из Парижа в Лондон два. Сколькими способами можно добраться из Москвы в Лондон, заезжая в Париж?

Решение.

М

П

Л

1. Определяем количество действий k. В нашем примере k = 2, т.к. нужно выполнить 2 действия: первое – путешествие из Москвы в Париж, второе – путешествие из Парижа в Лондон.

2. Определяем, сколькими способами можно выполнить каждое действие, т.е. находим n ₁ и_. n ₂. Первое действие – путешествие из Москвы в Париж – можно выполнить 4 способами, т.к. из Москвы в Париж ведут 4 пути, значит n ₁ = 4. Второе действие – путешествие из Парижа в Лондон - можно выполнить 2 способами, т.к. из Парижа в Лондон ведут 2 пути, следовательно, n ₂ = 2.

3. Пользуемся правилом произведения: наши 2 действия можно выполнить n ₁ n ₂ способами,следовательно, из Москвы в Лондон с заездом в Париж ведут 2 4 = 8 дорог.

Ответ: 8дорог.

Контрольные вопросы:

1. Какой раздел математики называют комбинаторикой?

2. Сформулируйте основное правило комбинаторики.

3. Приведите свой пример использования основного правила комбинаторики.

4. Решите задачу: Сколько имеется трехзначных чисел, которые делятся на пять?

Факториалом (n!), где, называют произведение натуральных чисел от 1 до n.

n! = 123…( n – 1) n

Например, 2! = 1·2 =2;

3! = 1·2·3 = 6;

4! = 1·2·3·4 = 24.

Считаем, что 0! = 1 и 1! = 1.

При преобразовании выражений, содержащих факториалы, факториал большего числа представляют в виде произведения множителей, одним из которых является факториал меньшего числа. Рассмотрим подобные преобразования на примере:

Пример 2.1. Вычислите:.

Решение.

Тогда

Ответ:

Контрольные вопросы:

1. Что называют факториалом натурального числа?

2. Какую технику необходимо использовать при преобразовании выражений, содержащих факториалы натуральных чисел?

3. Выполните упражнение: Вычислите:

Понятие выборки – одно из основных в комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике, а подсчет числа выборок исторически был одной из первых задач комбинаторики. В типичных задачах по теории вероятностей подсчитывается число различных вариантов (выборок), а через них и вероятностей событий, связанных в большинстве случаев с бросанием монеты, кубика или со случайным выбором шаров из корзины. Одним из первых занялся подсчетом различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Приведем здесь одну из таких задач.

Пример 3.1. На какую сумму очков, выпадающих при подбрасываниях двух костей, разумно сделать ставку?

Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения.

2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2 = 2 + 1; 4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2; 5 = 1 + 4 = 4 + 1 = 2 + 3 = 3 + 2;

6 = 1 + 5 = 5 + 1 = 2 + 4 = 4 + 2 = 3 + 3; 7 = 1 + 6 = 6 + 1 = 2 + 5 = 5 + 2 = 4 + 3 = 3 + 4;

8 = 2 + 6 = 6 + 2 = 3 + 5 = 5 + 3 = 4 + 4; 9 = 3 + 6 = 6 + 3 = 4 + 5 = 5 + 4;

10 = 4 + 6 = 6 + 4 = 5 + 5; 11 = 5 + 6 = 6 + 5; 12 = 6 + 6.

Откуда видно, что целесообразно сделать ставку на выпадение в сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.

В этом примере мы как раз имеем дело с выборками – наборами чисел, выпадающими на игральном кубике. Примерами выборок могут служить наборы (1;1) – на первом кубике выпала 1, на втором тоже 1,

(1;2) - на первом кубике выпала 1, на втором 2,

(2;1) - на первом кубике выпала 2, на втором 1,

(5;6) - на первом кубике выпала 5, на втором 6, и т.д.

Подсчетом числа таких выборок мы и займемся в дальнейшем.

Контрольные вопросы:

1. Что называют выборками в комбинаторике?

2. Решите задачу: Бросаем три игральные кости. На какую сумму очков разумно поставить?

Дата добавления: 2014-01-06