Выборки элементов с повторениями

В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Размещениями с повторениями называют упорядоченные выборки по т элементов из исходного множества п элементов, где некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Размещения с повторениями обозначается и находится как

Пример 7.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Решение. Примерами таких трехзначных чисел могут служить 111, 112, 221 и т.д.

Найдем п – число элементов исходного множества, п=2 (т.к. числа состоят только из цифр 1 и 2).

Найдем т – число элементов в каждой выборке, т=3 (т.к. составляются трехзначные числа).

Определяем, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Числа 112 и 211состоят из одних и тех же цифр, но эти числа различны, т.к. порядок цифр в них разный. Следовательно, порядок элементов в каждой выборке важен. Значит, мы имеем дело с размещениями, а поскольку цифры 1 и 2 в каждом трехзначном числе могут повторяться, то перед нами размещения с повторениями:

Ответ: из цифр 1 и 2 можно составить 8 трехзначных чисел.

Пусть в исходном множестве содержится п элементов, при этом первый элемент встречается т ₁ раз, 2-й – т ₂ раз, а k -й – m _k раз (т ₁+ т ₂+…+ m _k = п), то число перестановок с повторениями Р_{т 1, т 2,…, т k} находится следующим образом:

Пример 7.2. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

Решение. Исходное множество состоит из букв слова «МАТЕМАТИКА». Их ровно 10, следовательно п=10.

Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы Р₁₀ новых «слов». Но буква «М» употребляется в «слове» 2 раза, «А» – 3 раза, «Т» – 2 раза, оставшиеся три буквы – по разу. Следовательно, т ₁ = 2, т ₂ = 3, т ₃ = 2, т ₄ = т ₅ = т ₆ = 1. В данном примере порядок в каждом наборе 10 букв важен, значит, мы имеем дело с размещениями всех 10 элементов или с перестановками с повторением.

Искомое число перестановок будет равно

Ответ: 151200 «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА».

Число сочетаний с повторениями из п элементов по т выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 7.3. 8 студенток решили купить себе по одному пирожному. Они зашли в кафе, где в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколько различных заказов официантке могут сделать студентки?

Решение. Исходное множество содержит 5 элементов (идет выбор из 5 пирожных), следовательно п=5.

Так как каждая студентка заказывает себе по одному пирожному, то каждая выборка включает в себя 8 элементов (8 пирожных), т.е. т=8. Смотрим, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Поскольку официантке важно лишь сколько пирожных какого вида она должна принести, а порядок пирожных в каждом заказе не важен, то мы имеем дело с сочетаниями. Т.к. пирожные в одном и том же заказе могут повторяться, то перед нами сочетания с повторениями.

Таким образом,

Ответ: студентки могут сделать 495 различных заказов.

Контрольные вопросы:

1. Приведите формулу для расчёта числа размещений с повторениями из п элементов по т.

2. Приведите формулу для расчёта числа перестановок с повторениями из п элементов.

3. Приведите формулу для расчёта числа сочетаний с повторениями из п элементов по т.

4. Решите задачу: Фирма решила закупить для своих 3 менеджеров сотовые телефоны. Сколькими способами можно сделать покупку в магазине, если из приемлемых по цене и качеству есть 6 телефонов?

Глава II. Случайные события

Чем больше случайных явлений мы наблюдаем, тем более взаимно уравновешиваются явления второстепенных причин и выдвигается действие главных, постоянных причин. Закономерности такого ряда называются вероятностными,или стохастическими закономерностями, которые и составляют основное содержание главы.

Дата добавления: 2014-01-06