Условные вероятности. Теоремы умножения вероятностей

События могут быть зависимы и независимы друг от друга.

Два события А и В являются независимыми, если вероятность события В не зависит от того, произошло или не произошло событие А.

Например, монета бросается 2 раза. Рассмотрим два события: А – выпадение герба при первом бросании монеты, и В - выпадение герба при втором бросании монеты.

Г

½

Г

Р

Р

½

½

½

Р

½

Г

½

Видим, что вероятность появления герба во втором испытании не зависит от того, что выпало в первый раз: герб или решка. Эта вероятность равна. Раз вероятность события В не зависит от того, наступило или не наступило событие А, то события А и В являются независимыми.

Рассмотрим другой пример.

В корзине лежат 3 белых и 4 черных шара. Из корзины вынимают два шара. Пусть событие А – вытащить первый шар белый, событие В – вытащить второй шар белый.

Проиллюстрируем эту задачу на графе.

Видим, что вероятность события В – вытащить второй шар белый – будет зависеть от того, произошло событие А (т.е. первым был вынут белый шар) или не произошло (первым был вынут черный шар).

Если событие А произошло и первым был вынут белый шар, то Р (В) =. Если событие А не произошло и первым был вынут черный шар, то Р (В) =.

Вероятности для события В получились разные, следовательно события А и В – зависимы. Для зависимых событий вводят понятие условной вероятности.

Условной вероятностью Р(В/А) называют вероятность события В при условии, что перед этим выполнено событие А.

Так, в нашем примере Р (В/А) = (вероятность достать второй белый шар при условии, что первый был белый); Р (В/Ā) = (вероятность достать второй белый шар при условии, что первый был чёрный).

При решении задач бывает целесообразно использовать следующие теоремы умножения вероятностей:

Теорема 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А·В) = Р (А) · Р (В), если события А и В независимы.

Теорему 1 можно распространить на любое конечное число независимых событий, т.е.

Теорема 2. Вероятность произведения конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А₁·А₂·…·А_n) = Р (А₁) · Р (А₂) ·…· Р(А_n), если А_1, А_2,… А_n независимы.

Применение теорем 1 и 2 всегда требует проверки независимости рассматриваемых событий.

Пример 14.1. В компьютерный класс решили приобрести 3 дополнительных компьютера, заказав их в трех разных фирмах. Вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,95. Найдите вероятность того, что:

1. все три компьютера будут доставлены в срок,

2. ни один компьютер не будет доставлен в срок,

3. ровно один компьютер доставят в срок.

Решение. Выделим события, вероятности которых даны в условии задачи.

Пусть событие А₁ – первая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₁) = 0,9,

событие А₂ – вторая фирма выполнит заказ в срок, Р(А₂) = 0,8,

событие А₃ – третья фирма выполнит заказ в срок, Р(А₃) = 0,95.

1. Найдем вероятность события А - все три компьютера будут доставлены в срок. Событие А произойдет только тогда, когда будут выполнены и событие А₁, и событие А₂, и событие А₃. Следовательно, А = А₁· А₂· А₃.

События А₁, А₂ и А₃ независимы, т.к. осуществление или неосуществление любого из событий не влияет на вероятность появления остальных событий. Тогда по теореме 2

Р(А) = Р (А₁·А₂·А₃) = Р (А₁) · Р (А₂) · Р(А₃),

Р (А) = 0,9·0,8·0,95 = 0,684.

2. Найдем вероятность события В – ни один компьютер не будет доставлен в срок. Событие В произойдет только тогда, когда и первый, и второй, и третий компьютеры не будут доставлены в срок. В решении появляются события, противоположные данным.

Событие Ā₁ – первая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā ₁) = 1 – 0,9 = 0,1

событие Ā ₂ – вторая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā ₂) = 1 – 0,8 = 0,2,

событие – третья фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā ₃) = 1 – 0,95 = 0,05.

Раз события Ā_1, Ā _2, Ā ₃ должны быть выполнены одновременно, то мы имеем дело с произведением этих событий, т.е. В = Ā₁· Ā ₂· Ā ₃.

События Ā_1, Ā _2, Ā ₃ независимы, т.к. осуществление или неосуществление любого из событий не влияет на вероятность появления остальных событий. Тогда по теореме 2

Р(В) = Р (Ā₁· Ā ₂· Ā ₃) = Р (Ā₁) · Р (Ā ₂) · Р(Ā ₃),

Р (В) = 0,1·0,2·0,05 = 0,001.

3. Найдем вероятность события С - ровно один компьютер доставят в срок. Событие С произойдет только тогда, когда в срок доставят или первый компьютер (при этом второй и третий не привезут), или второй компьютер (при этом первый и третий не привезут), или третий компьютер (при этом первый и второй не привезут). Тогда С можно представить в виде:

С = А₁· Ā₂· Ā₃ + Ā₁· А₂· Ā₃ + Ā₁· Ā₂·А₃.

Используя теорему 2 сложения вероятностей для несовместных событий, получим:

Р(С) = Р (А₁·Ā₂·Ā₃) +Р (Ā₁·А₂·Ā₃) + Р(Ā₁·Ā₂·А₃).

Используя теорему 2 произведения вероятностей для независимых событий, получим:

Р(С) = Р (А₁)·Р(Ā₂)·Р(Ā₃) +Р(Ā₁)·Р(А₂)·Р(Ā₃) + Р(Ā₁)·Р(Ā₂)·Р(А₃).

Тогда Р(С) = 0,9 · 0,2 · 0,05 + 0,1 · 0,8 · 0,05 + 0,1 · 0,2 · 0,95 = 0,009 + 0,004 + 0,019 = 0,032.

Ответ: Р (А) =0,684, Р (В) = 0,001, Р(С) = 0,032.

Если события А и В зависимы, то справедлива следующая теорема:

Теорема 3. Вероятность появления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленного при предположении, что первое событие уже наступило:

Р (А·В) = Р (А) · Р (В/А) = Р (В) · Р (А/В).

Теорему 3 можно обобщить на любое конечное число событий:

Теорема 4. Вероятность появления зависимых событий А₁, А₂,…А_n равна

Р (А ₁ ·А ₂ ·…·А_{n -1} ·A_n) = P (A ₁) · P (A ₂ /A ₁) ·…· P (A_n/A ₁ ·A ₂ ·…·A_{n -1}).

Интерпретацией теорем сложения и умножения на графах служит дерево исходов, соответствующее «благоприятному» событию. На каждом ребре такого дерева запишем вероятность исхода, тогда вероятность конечного события равна произведению вероятностей всех исходов, встречающихся на пути от корня дерева до данной вершины.

Эффективность графов покажем на следующем примере.

Пример 14.2. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

Решение. Испытание: выбор по порядку четырёх букв слова «МАТЕМАТИКА».

Пусть событие А = {получить слово «МАМА»}.

Первой буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₁. Тогда P (A ₁) =, т.к. в слове «МАТЕМАТИКА», состоящем из 10 букв, две буквы «М».

Второй буквой надо обязательно извлечь букву «А», назовем это событием А₂. Тогда P (A ₂ /A ₁) =, т.к. осталось 9 букв, из них 3 буквы «А».

Третьей буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А₃. Тогда P (A₃/A ₁ ·A ₂) =, т.к. осталось 8 букв, из них 1 буква «М».

Четвертой буквой надо извлечь букву «А», назовем это событием А₄. Тогда P (A₄/A ₁ ·A ₂ ·A ₃) =, т.к. осталось 7 букв, из них 2 буквы «А».

Возьмем в дереве испытаний ветвь, соответствующую событию А:

Тогда

Ответ:

Контрольные вопросы:

1. Какие события называют независимыми?

2. Что называют условной вероятностью события Р(В/А)?

3. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для двух независимых событий. Можно ли обобщить данную теорему на любое конечное число попарно независимых событий?

4. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для двух зависимых событий. Можно ли обобщить данную теорему на любое конечное число зависимых событий?

5. Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей: В первой корзине лежит 3 чёрных и 4 белых шара, во второй – 5 чёрных и 2 белых шара. Из каждой корзины извлекают по шару. Найдите вероятность того, что а) оба шара белые; б) оба шара чёрные; в) шары одного цвета; г) среди извлечённых есть хотя бы один белый шар.

Дата добавления: 2014-01-06