Приближенные формулы для схемы Бернулли

СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Будем проводить повторные независимые испытания (т.е. исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих). Например, многократное подбрасывание монеты, игральной кости, серия выстрелов из винтовки по цели – являются повторными независимыми испытаниями.

Пусть проводится n повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться. Например, подбрасываем игральную кость 3 раза (n = 3 ), событие А – выпадение «6» - может появиться или не появиться в каждом испытании.

Пусть вероятность наступления события А в каждом испытании равна р (вероятность успеха), тогда вероятность того, что событие А не наступит (вероятность неудачи), равна Р (Ā) = 1 – p= q. В нашем примере вероятность успеха в одном испытании – вероятность выпадения «6» - это p=, а вероятность неудачи – невыпадения «6» - это q = 1 – p= 1 - =.

Поставим перед собой задачу: вычислить вероятность того, что при n повторных независимых испытаниях событие А осуществится m раз. Так пусть в нашем примере требуется найти вероятность того, что при трех подбрасываниях игральной кости «6» выпадет ровно 2 раза.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли, названной в честь её создателя Якоба Бернулли:

n – число испытаний,

m – число успехов,

p -вероятность успеха в одном испытании,

Я. Бернулли

q = 1 – p - вероятность неудачи в одном испытании.

В нашем примере нужно найти Р ₃(2) =.

Пример 16.1. В ячейке ЭВМ записано 8-разрядное двоичное число. Пусть каждый знак этого числа с равной вероятностью принимает значение «0» или «1». Найдите вероятность того, что в записи числа «1» повторится

a. один раз,

b. ни разу,

c. не более двух раз.

Решение. Имеем серию повторных независимых испытаний: в каждую из 8 ячеек заносим либо «0», либо «1». При решении будем пользоваться формулой Бернулли. Введем событие А – появление в ячейке «1».

р =, т.к. знак числа с равной вероятностью принимает значение «0» или «1», тогда q =. Число испытаний n = 8, т.к. ячеек в записи числа 8.

Ответим на поставленные вопросы в задаче:

a. событие А – появление в ячейке «1» - должно наступить ровно 1 раз, следовательно m = 1. Используя формулу Бернулли, получим

Р₈(1) =.

b. событие А – появление в ячейке «1» - не должно наступить ни разу, следовательно m = 0. Используя формулу Бернулли, получим

Р₈(0) =.

c. событие А – появление в ячейке «1» - должно наступить не более двух раз, т.е. или 2 раза, или 1 раз. или ни разу. Следовательно, имеем дело с суммой трех событий: Р₈(2)+ Р₈(1)+ Р₈(0). Найдем Р₈(2), используя формулу Бернулли, при m = 2.

Р₈(2) =.

Тогда Р₈(2)+ Р₈(1)+ Р₈(0) =.

Ответ: а); b); c)

При вычислении вероятностей по схеме Бернулли можно использовать возможности электронных таблиц Microsoft Excel. Для этого в мастере функций в категории статистические нужно выбрать функцию БИНОМРАСП (m, n, p, ложь), где n – число испытаний, m – число успехов, p - вероятность успеха в одном испытании.

Так, в примере 16.1 для нахождения вероятности того, что в записи восьмиразрядного двоичного числа «1» повторится один раз, можно использовать функцию БИНОМРАСП (1, 8, 0,5, ложь). Тогда в ячейке, в которой записана формула, появится значение 0,03125, что равно. Для нахождения вероятности того, что в записи восьмиразрядного двоичного числа «1» не встретится ни разу, можно использовать функцию БИНОМРАСП (0, 8, 0,5, ложь). Тогда в ячейке, в которой записана формула, появится значение 0,003906, что равно.

То значение m ₀, которому при заданном значении n соответствует самая большая вероятность среди P_n (m), называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np – q ≤ m₀ ≤ np+ p,

Пример 16.2. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появления шестерки было бы 3?

Решение. По условию задачи имеем наивероятнейшее число m ₀ = 3 и вероятность выпадения шестерки при одном подбрасывании игральной кости q =, тогда Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

Домножим каждое неравенство на 6:

Итак,.

Ответ: игральную кость нужно бросить от 17 до 23 раз, чтобы наивероятнейшее число появления шестерки было равно трём.

Контрольные вопросы:

1. Проанализируйте, в каких ситуациях используется формула Бернулли? Приведите данную формулу. Можно ли использовать данную формулу для зависимых событий?

2. Какое значение называют наивероятнейшим для серии повторных независимых испытаний?

3. Решите задачу: Установлено, что в среднем 5% мужчин страдают дальтонизмом. Найти вероятность того, что среди трех мужчин а) ни одного дальтоника, б) не более одного дальтоника.

Нахождение вероятностей Р_п (т) по формуле Бернулли при достаточно больших значениях п сопряжено с большим числом вычислений. Это обстоятельство было отмечено математиками начала XVIII века в исследованиях, посвященных демографическим проблемам. Возникла необходимость в приближенных формулах для Р_п (т).

Если число испытаний п достаточно велико и то вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях т раз находится по локальной теореме Муавра-Лапласа: где.

Функция называется функцией Гаусса. Значения функции Гаусса помещены в специальных таблицах и приведены в приложении 1.

П. Лаплас

Важно, что т.е. это четная функция.

Если необходимо вычислить вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях от т ₁ до т ₂ раз, то применяют интегральную теорему Муавра- Лапласа:

где,

Функция Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(- х) = - Ф(х).

Пример 17.1. Вероятность того, что один компьютер не выйдет из строя в течение года, равна 0,8. Определите вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров

а) 315 будут в рабочем состоянии в течение года;

б) не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров.

Решение. 1. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, применима схема Бернулли, причём п = 400.

Будем искать вероятность события А - 315 ПК будут в рабочем состоянии в течение года

Введём вспомогательное событие А ₁ - один ПК будет в рабочем состоянии в течение года.

Для А ₁ р = 0,8, q = 0,2.

2. Поскольку п достаточно велико, проверим, выполняется ли равенство:

npq = 400·0,8·0,2 = 64 > 10, следовательно, локальная и интегральная теоремы применимы.

3. а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа при т = 315.

Найдем значение х:

Найдем В силу того, что по таблице значений функции Гаусса находим φ (0,625) ≈ φ (0,63) = 0,3271.

По теореме Муавра-Лапласа Р(А) =

Итак, вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров ровно 315 будут в рабочем состоянии в течение года, равна 0,0409.

б) По условию задачи т ₁ = 300, т ₂ = 340. Найдём вероятность события В - не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров

Для вычисления Р(В) используем интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Найдем значения х ₁ и х ₂:

=;

=.

Найдем по таблицам значение функции Лапласа Ф(х). Т.к. Ф(- х) = - Ф(х), Ф(-2,5) = - Ф(2,5), Ф(2,5) = 0,4938. Тогда

Р(В) =

Итак, вероятность того, что в течение года из 400 компьютеров не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров, равна 0,9876.

Ответ: Р(А) = 0,0409; Р(В) = 0,9876.

Контрольные вопросы:

1. Проанализируйте, в каких ситуациях формула Бернулли неприменима?

2. Сформулируйте локальную теорему Муавра – Лапласа. В каких ситуациях она применима?

3. Сформулируйте интегральныую теорему Муавра – Лапласа. В каких ситуациях она применима?

4. Решите задачу: Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, обладают иммунитетом против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100000 граждан, имеющих прививки а) ровно 90000; б) 80000 - 100000 граждан защищены от заболевания туберкулезом?

Глава III. ДИСКРЕТНЫЕ Случайные величины

В XVIII веке в работах Котса, Симпсона и Д. Бернулли начала развиваться теория ошибок измерений, возникшая в первую очередь под влиянием метрологии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана еще Галилеем, который ввел в обиход понятия "случайная" и "систематическая" ошибки измерения. "Случайная" ошибка зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от измерения к измерению. Вот такая ошибка измерения и представляет собой пример случайных величин, изучению которых и посвящена эта глава.

Дата добавления: 2014-01-06