Интегральная функция распределения

Одной из важных функций, характеризующих случайные величины, является интегральная функция распределения.

Рассмотрим понятие данной функции на примере распределения случайной величины Х - числа выпавших гербов при подбрасывании двух монет. Тогда закон распределения случайной величины Х можно записать с помощью таблицы:

Х	0	1
Р

Интегральной функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х.

F(x) = P(X < x),

Т.к. F (x) – функция, будем задавать значения х и находить соответствующие значения F (x).

Пусть х = -1, тогда F(x) = F(-1)= P(X <-1), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше –1. Наша случайная величина принимает всего 3 значения: 0, 1 или 2, следовательно, вероятность того, что случайная величина примет значения меньше –1, равна 0 (невозможное событие). Итак, F(-1)=0.

Пусть х = 0, тогда F(x) = F(0)= P(X <0), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше 0. Значений меньше 0 наша ДСВ не принимает, следовательно, вероятность того, что случайная величина примет значения меньше 0, снова равна 0 (невозможное событие). Итак, F(0)=0.

Пусть х = 0,5, тогда F(x) = F( 0,5 )= P(X <0), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше 0,5. Значение Х, меньшее 0,5, это 0. Вероятность того, что случайная величина примет это значение, равна. Итак, F( 0,5 )=.

Пусть х = 1, тогда F(x) = F(1)= P(X <0), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше 1. Значение Х, меньшее 1, это снова 0. Вероятность того, что случайная величина примет такое значение, равна. Итак, F(1)=.

Пусть х = 2, тогда F(x) = F(2)= P(X <0), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше 2. Значения Х, меньшие 2, это 0 или 1. Вероятность того, что случайная величина примет эти значения, равна +. Итак, F(2)=.

Пусть х = 3, тогда F(x) = F(3)= P(X <0), т.е. F (x) равно вероятности того, что случайная величина примет значения меньше 3. Значения Х, меньшие 3, это 0, 1 или 2. Вероятность того, что случайная величина примет эти значения, равна +. Итак, F(3)=1.

Обобщим полученные данные. Видим, что при любых значениях х наша функция F(x) принимает всего 4 значения: 0, ,, 1. Сведем эти значения в одну систему:

Итак, если Х – дискретная случайная величина, то где суммируются вероятности тех значений х _i, которые меньше х. Данную функцию можно интерпретировать как функцию накопления вероятностей.

Построим график F(x).

F(x)

х

Видим, что график имеет ступенчатый вид. Именно ступенчатый график интегральной функции распределения характерен для дискретной случайной величины.

Рассмотрим свойства интегральной функции распределения:

1., т.е. значения функция F(x) лежат в промежутке от 0 до 1.

2. - вероятность того, что случайная величина принимает значения от а до b, равна разности значений интегральной функции распределения в этих точках.

Докажем это свойство: очевидно, что Р(Х<а)+, а в силу того, что Р(Х<а)= F(а), Р(Х<b)= F(b), получим: F(а)+= F(b), откуда.

3. F(x) – неубывающая функция;

4.

Пример 19.1. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	-5
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Найдите P(X<- 4 ), P(X< 0,1 ), P(X< 3 ), P(- 3 <X< 7 ), составьте интегральную функцию распределения.

Решение. P(X <- 4 ) = 0,1 (случайная величина Х принимает единственное значение, меньшее –4, это –5, с вероятностью 0,1).

P(X < 0,1 ) = 0,3 (случайная величина Х принимает два значения, меньшие 0,1, это –5 и 0, с вероятностью 0,1+0,2).

P(X< 3 ) = 0,6 (случайная величина Х принимает три значения, меньшие 3, это –5, 0 и 2 с вероятностью 0,1+0,2+0,3).

P(- 3 <X< 7 ) = 0,9 (случайная величина Х принимает три значения, меньшие 7, но большие –3, это 0, 2 и 6, с вероятностью 0,2+0,3+0,4).

Для составления F(x) удобно использовать формулу:

Таким образом, интегральная функция распределения случайной величины Х имеет вид:

Контрольные вопросы:

1. Что называют интегральной функцией распределения?

2. Каковы основные свойства интегральной функции распределения?

3. Какой вид имеет график интегральной функции распределения для дискретной случайной величины?

4. Как можно интерпретировать интегральную функцию распределения?

5. Решите задачу: Случайная величина Х имеет закон распределения:

Х
Р	0,4	0,2	0,2	0,1	0,1

Найдите: а) Р(Х = 1 ), б) Р(Х = 3), в) Р(Х<- 1 ), г) Р(Х< 2 ), д) Р(Х< 4 ), е) Р(Х< 6 ), ж) Р(Х< 10 ), з) Р( 0 <Х< 3, и) составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график.

Дата добавления: 2014-01-06