II. Геометрическое распределение

Будем проводить повторные независимые испытания до появления «успеха» (например, стреляем по мишени до попадания).

Пусть случайная величина Х – число проведенных испытаний. Она может принимать значения 1, 2… n… до бесконечности. Обозначим р – вероятность успеха в одном испытании, q – вероятность неудачи.

Граф распределения в этом случае выглядит следующим образом.

Найдем закон распределения случайной величины Х:

Х					…	n	…
Р	p	pq	pq^2	pq^3	…	pq^n-1	…

Заметим, что значения вероятностей в нижней строке образуют геометрическую прогрессию, поэтому такое распределение называют геометрическим распределением.

Докажем, что сумма вероятностей в нижней строке равна 1.

Наша геометрическая прогрессия – бесконечно убывающая, т.к. pq^n-1 при. Первый член прогрессии а₁= р, знаменатель q.

Используя формулу суммы убывающей геометрической прогрессии, убеждаемся, что. Значит, закон распределения случайной величины Х составлен верно.

Для нахождения числовых характеристик геометрически распределенной случайной величины справедливы следующие формулы:

Пример 21.2. Бросаем игральную кость до появления шестерки. Если это произойдет при первом бросании, то игрок получит 1 рубль, при втором – 2 рубля, при третьем 3, при k -м бросании k рублей. Какой вступительный взнос следует заплатить игроку, чтобы игра стала безобидной?

Решение. Пусть X - величина приза, тогда случайная величина имеет следующий граф распределения:

Это пример геометрического распределения, для которого р =, q =.

Найдем математическое ожидание выигрыша: = 6.

Ответ: для того, чтобы игра была безобидной, вступительный взнос должен составлять 6 рублей (игра принесёт заведению прибыль, если вступительный взнос будет больше 6 рублей).

Контрольные вопросы:

1. Какое распределение называют биномиальным? Приведите пример ДСВ, распределённой по биномиальному закону. С чем связано такое название закона распределения?

2. Приведите формулы для расчёта М(Х), D(Х), σ(X) при биномиальном распределении.

3. Какое распределение называют геометрическим? Приведите пример ДСВ, распределённой по геометрическому закону. С чем связано такое название закона распределения?

4. Приведите формулы для расчёта М(Х), D(Х), σ(X) при геометрическом распределении.

5. Решите задачу: Составьте закон распределения числа страниц с опечатками, если в статье 4 страницы, а вероятность опечатки на одной странице равна 0,1. Найдите М(Х), D(Х), σ(X).

Глава IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ Случайные величины

Непрерывные случайные величины тесно связаны с дискретными случайными величинами, в то же время у них есть свои особенности, с которыми мы познакомимся при изучении данной главы. На протяжении изучения главы мы будем составлять обобщающую таблицу по случайным величинам, которая поможет лучше ориентироваться в изучаемом теоретическом материале, а также будет служить незаменимым помощником при решении задач.

Дата добавления: 2014-01-06