Формула Бернулли. Производится несколько испытаний, вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний

Производится несколько испытаний, вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называют независимыми относительно события . Будем считать, что в этих независимых испытаниях событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться и не появиться; появляется с вероятностью , не появляется с вероятностью .

Представляет интерес вычисления вероятности того, что при испытаниях событие осуществляется ровно раз и не осуществляется раз. При этом не требуется повторения события в определенной последовательности. Обозначим искомую вероятность через .

Поставленная задача решается с использованием формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящее в том, что в испытаниях событие наступит раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна .

Таких сложных событий (событий типа ) может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по элементов, т.е. . Эти сложные события несовместны и по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или .

Это и есть формула Бернулли.

Дата добавления: 2014-01-06