Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соотношение между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Возможные значения случайной величины образуют полную группу (попарно несовместны; появление одного и только одного из них в измерениях является достоверным событием; сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. ).

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для чего в прямоугольной системе координат строят точки а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

	0,2	0,4	0,6	0,8
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Рис. 1

4. Биномиальное распределение

Производится независимых испытаний, в каждом из которых

событие может появиться с вероятностью и не появиться с вероятностью Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины число появлений события в этих испытаниях.

Поставим задачу: найти закон распределения величины . Для ее решения требуется определить возможные значения и их вероятности. Событие в испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза,…, либо раз. Таким образом, возможные значения таковы:

…,Остается найти вероятности этих возможных значений. Для этого воспользуемся формулой Бернулли:

, где (*)

Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правая часть равенства (*) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

.

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события раз; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Биномиальный закон напишем в виде таблицы:

			…		…
			…		…

Пример. Производится 9 независимых испытаний. При каждом испытании событие появляется с одной и той же вероятностью Записать в виде таблицы закон распределения случайной величины - числа появления события при этих испытаниях.

Решение. По формуле Бернулли

вычисляем вероятности ,

, т.к.

	0,000	0,0009	0,0073	0,0341	0,1024	0,2049	0, 2733	0, 2341	0,1170	0, 0260

Можно убедиться, что

Дата добавления: 2014-01-06