Свойства математического ожидания

Св-во 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство. Пусть - дискретная случайная величина с одним возможным значением с вероятностью И по определению

Замечание 1. Если вероятность возможного значения равна , то вероятность того, что величина примет значение , также равна .

Св-во 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

….

…..

Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины : ….

…..

Математическое ожидание случайной величины :

.

Замечание 2. Две случайные величины называют независимыми, если закон

распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины

зависимы.

Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Замечание 3. Произведение независимых случайных величин и есть случайная величина , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение ; вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Если при этом получается, например, , то вероятность или равна , где вероятности значений , соответственно.

Св-во 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:

Составим все значения, которые может принимать случайная величина . Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение ; в итоге получим и .

Закон распределения примет вид:

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

или

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

.

Пример 1. Независимые случайные величины и заданы законами распределения:

5 2 4 7 9

0,6 0,1 0,3 0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины .

Решение. Найдем математическое ожидание каждой из данных величин:

Случайные величины и независимы, поэтому

Замечание 4. Определим сумму случайных величин и как случайную величину , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения с каждым возможным значением ; вероятности возможных значений для независимых величин и равны произведениям вероятностей слагаемых; для зависимых переменных – призведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго. Ести получается, что и вероятности этих возможных значений соответственно равны и , то вероятность или, что то же , равна

Следующее свойство справедливо как для независимых, так и для зависимых случайных величин.

Св-во 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Доказательство. Пусть случайные величины и заданы законами распределения:

Составим все возможные значения величин + и получим:

Полученным суммам случайных значений и соответствуют вероятности: .

Математическое ожидание величин + равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

Раскрывая скобки и приведя подобные, получим

(*)

Но . Так как это означает, что примет значение с вероятностью . Это влечет за собой событие, которое состоит в том, что + примет значение или с вероятностью .

Аналогично доказываются равенства и

Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*) получим

или окончательно

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем

Пример 2. Найти математическое ожидание суммы числа очко, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим: и - число очков при брасании двух игральных костей. Возможные их значения: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Причем вероятность каждого значения равна

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

Очевидно, что и Искомое математическое ожидание

5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Доказательство. Пусть случайная величина есть число наступления события в независимых испытаниях. распределена по биномиальному закону. Очевидно, что общее число появлений события в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Если - число появлений события в первом испытании, во втором, …, в - м, то общее число испытаний .

По четвертому свойству математического ожидания,

По условию теоремы

следовательно,

Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины

Дата добавления: 2014-01-06