Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части

Лекция 3

Рассмотрим комплекснозначную дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).

Рассмотрим точку z, дадим приращение Dz, a= arg Dz. Тогда . При секущая переходит в касательную, , где- угол наклона касательной к графику в точке . Тогда =

Наличие ненулевой производной означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной . Пусть , где - действительное число. Тогда - комплекснозначная функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

По теореме о сложной функции , поэтому

. Следовательно, - аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

Так как , , то - модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции , то угол наклона касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Линейное отображение (), как было показано выше, сводится к повороту на угол и растяжению в раз.

Дата добавления: 2014-01-06