Интегральная формула Коши

Интегральная формула Коши.

Лекция 5.

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть справедливы условия теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом. Пусть Ф(z) – первообразная для функции f(z). Тогда

Доказательство. по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом – первообразная для функции f(z). Поэтому J(z)=Ф(z)+С.

J(z₀) = 0 = Ф(z₀) + C, отсюда С = - Ф(z₀). Тогда J(z₁) = Ф(z₁) + С = Ф(z₁) - Ф(z₀).

Пусть функция аналитическая в односвязной области G. Пусть кусочно-гладкий контур L принадлежит G вместе со своей внутренностью D. Пусть , тогда

Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

=, где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим || =

= ||

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности || = 0. Следовательно, .

Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z₀, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.

, , ….

. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида

, .

Примеры. 1. (по интегральной формуле Коши)

2.(по формуле для первой производной)

3. Вычислить. Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: – окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. . По интегральной теореме Коши для многосвязной области = += =

=.

Дата добавления: 2014-01-06