КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Числовые ряды
Ряды в ТФКП Лекция 6.
Большая часть теорем из теории рядов ТФКП доказывается аналогично соответствующим теоремам из теории рядов действительных переменных.
Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм или . Теорема. Для того чтобы ряд , где , сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды из действительных и мнимых частей , . Доказательство следует из теоремы лекции 2 относительно эквивалентности сходимости последовательности сходимости последовательностей действительных и мнимых частей . Следствие. Если ряд или ряд расходятся, то ряд расходится. Доказательство (от противного) – проведите сами.
Замечание. Эта теорема как раз и «перекидывает мостик» между изученными ранее рядами действительной переменной и рядами комплексной переменной.
Критерий Коши. Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы . Доказательство. Необходимость. Если ряд сходится, то ряды , сходятся. Следовательно, для них выполняется критерий Коши. Тогда. . Выбирая,получим.
Достаточность. Пусть. Тогда, так как , то для рядов , выполнен критерий Коши. Следовательно, они сходятся. Тогда, по доказанной теореме ряд сходится. Теорема. Если ряд сходится, то ряд сходится (если ряд сходится абсолютно, то он сходится). Доказательство. Ряд – знакоположительный числовой ряд, так как - неотрицательное действительное число. Так как сходится и , то по первому признаку сравнения знакоположительных числовых рядов ряд сходится. Аналогично, так как , то по первому признаку сравнения ряд сходится. Поскольку ряды , сходятся абсолютно, то они сходятся. Тогда и ряд сходится.
Пример. Ряд сходится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды из действительных и мнимых частей.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 248; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |