Теорема о разложении аналитической функции в степенной ряд

Теоремы Тейлора и Лорана

Лекция 8.

(теорема Тейлора).

Пусть функция - аналитическая в односвязной области с кусочно-гладкой границей , . Тогда функция разлагается в степенной ряд по степеням в круге (расстояние от точки до границы области).

Доказательство. Точка лежит внутри , поэтому можно выбрать целиком лежит в области

z0 R R z0 Пусть точка z принадлежит кругу . По интегральной формуле Коши Разложим в ряд по степеням .

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция - аналитическая в и на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

. В самом деле, по следствию из интегральной формулы Коши

. Заметим, что точно так же записывался ряд Тейлора для функции действительной переменной: . Таким образом, показано, что функция, аналитическая в круге, разлагается в нем в сходящийся степенной ряд. Это разложение единственно и оказывается рядом Тейлора для данной функции. Коэффициенты разложения вычисляются однозначно по формулам .

Дата добавления: 2014-01-06