Правильная точка

Особые точки функций комплексной переменной.

Лекция 8.

Пусть функция - аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки . Если существует комплексное число A, доопределяя которым функцию в самой точке, удается сделать функцию аналитической в окрестности точки (включая точку ), то точка называется правильной точкой функции . Если такого числа не существует, то точка называется изолированной особой точкой (однозначного характера).

Если - правильная точка функции , то .

Теорема. Для того чтобы была правильной точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы функции была ограниченной в окрестности точки .

Доказательство. Необходимость. Если - правильная точка функции , то, доопределяя ее в точке , сделаем функцию аналитической, следовательно, и непрерывной, (тогда ). Непрерывная функция является ограниченной в некоторой окрестности точки.

Достаточность. Пусть функция - аналитическая в проколотой окрестности точки и ограничена в окрестности .

Так как функция аналитическая в круговом кольце , то по теореме Лорана ее можно разложить в этом кольце в сходящийся ряд Лорана . Справедливы неравенства Коши . Рассмотрим . . Следовательно, .Тогда ряд Лорана для функции превращается в ряд Тейлора . Доопределим функцию в точке .Тогда функция станет аналитической в окрестности как сумма степенного ряда. Поэтому точка - правильная точка функции .

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Следствие. Теорема Лиувилля. Любая целая, ограниченная во всей расширенной плоскости функция, есть константа.

Доказательство. Целая функция содержит только положительные степени в ее разложении в ряд Лорана (). Из неравенств Коши при будет . Следовательно, .

Дата добавления: 2014-01-06