Вычисление вычетов в точке конечной плоскости

Для различных типов особых точек (правильная, полюс, существенно особая) различны алгоритмы вычисления вычетов функции в этих точках.

Если z₀ – правильная особая точка, то ряд Лорана превращается в ряд Тейлора, в котором нет отрицательных степеней , поэтому =0.

Если z₀ – полюс первого порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестностиэтой точки не содержит степеней , ниже, чем –1 и содержит степень -1. Разложение выглядит так.

. Умножим обе части на .

Перейдем к пределу при , чтобы обратились в нуль все слагаемые в правой части, содержащие целые степени .

- формула для вычета функции в полюсе первого порядка.

В том случае, когда z₀ – полюс первого порядка функции вида

, можно получить удобную в вычислениях формулу для вычета.

=- формула для вычета функции в полюсе первого порядка. Здесь использованы условия .

Пример. Найти вычеты функции во всех особых точках конечной плоскости.

У функции два полюса первого порядка .

По первой формуле

.

Применим вторую формулу

. , .

В том случае, когда z₀ – полюс n-го порядка, то разложение в ряд Лорана в окрестностиэтой точки не содержит степеней , ниже, чем –n и содержит степень –n . Разложение выглядит так.

Умножим обе части на .

.

Уничтожим степень при коэффициенте дифференцированием, его надо провести раз. Получим

Перейдем к пределу при . Все слагаемые в правой части, содержащие целые степени (второе, третье, четвертое и т.д.) обратятся в нуль. Отсюда имеем формулу для вычета функции в полюсе n – ого порядка:

Пример. . - полюс 1 порядка, z = 1 – полюс 2 порядка.

.

В том случае, когда точка - существенно особая точка, вычет в ней вычисляется единственным способом – непосредственным разложением функции в ряд Лорана и вычислением коэффициента при –1 степени.

Пример.

Здесь - существенно особая точка. Разложение в ряд Лорана в окрестности :

.

Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется коэффициент , (взятый со знаком минус коэффициент при –1 ой степени в разложении в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки).

Дата добавления: 2014-01-06