Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Возьмем из этой окрестности последовательность точек, отличных от : сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность , и можно говорить о существовании ее предела.

О.1. (по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число (), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначается .

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

О.2. (по Гейне). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Определение предела не требует существования функции в самой точке . То есть, рассматривая , мы предполагаем, что , но не достигает значения . Поэтому наличие или отсутствие предела при определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

В определении предела функции считается, что любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ) или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

О.3. Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа , существует число (), такое что при , выполняется неравенство

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции .

Решение: и

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем . Если же , то не существует.

О.4. Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число (), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Примеры функций имеющих пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. не существует.

Дата добавления: 2014-01-06