Введение. Часть 3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Часть 3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Ряд Фурье на произвольном отрезке

Часть 2. Разложение функций в ряд Фурье

Действия с комплексными числами

Часть 1. Вычисления с комплексными числами в Mathcad

Лекция № 5

Тема: «Комплексные переменные. Разложение функций в ряд Фурье. Решение дифференциальных уравнений»

В Mathcad определена мнимая единица i: и, следовательно, определены комплексные числа и операции с ними.

Z=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа.

a – действительная часть, b – мнимая часть

- экспоненциальная (показательная) форма записи комплексного числа,

А – модуль, φ – аргумент (фаза)

- тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Связь величин: a=A cos φ b=A sin φ

Z1=a1+j·b1, Z2=a2+j·b2

a) Сложение (вычитание) Z3=Z1±Z2=(a1±a2)+j·(b1±b2)

б) Умножение c·Z1=a·c+j·b·c

Z3=Z1·Z2=(a1·a2-b1·b2)+j·(a1·b2+a2·b1)=A1A2ej(φ1+φ2)

в) Деление

г) Возведение в степень n (натуральную)

д) Извлечение корня:, где k =0,1,2…n-1

!!!Машина принимает только радианы!!! радиан=градус градус=радиан

Примеры:

Функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [-p;p], если существует интеграл. Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке [-p;p] функции f(x) можно поставить в соответствие её тригонометрический ряд Фурье:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера – Фурье:,

Обозначим n – ю частичную сумму ряда Фурье кусочно – гладкой на отрезке [-p;p] функции f(x). Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

Для любой ограниченной интегрируемой на [-p;p] функции f(x) частичная сумма её ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени.

Пример:

На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестностях точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n®¥, что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае. Видно также, что разность стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х.

Пример:

Для кусочно – гладкой функции на отрезке [-L;L] функции f(x) задача о разложении в ряд Фурье на отрезке [-L;L] линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке [-p;p]:

где,

Рассмотрим упрощения в рядах Фурье при различных условиях симметрии:

формула (1) формула (2)

Условия симметрии	Упрощения	an	bn
f(t)=f(–t)	Содержатся только косинусы	(1)
f(t)= – f(–t)	Содержатся только синусы		(2)
f(t)=f(t)	Для четных функций	(1)	(2)
Для нечетных функций
f(t)= –f(t)	Для четных функций
Для нечетных функций	(1)	(2)

Пусть необходимо найти решение уравнения

(1)

с начальным условием. Такая задача называется задачей Коши. Разложим искомую функцию в ряд вблизи точки и ограничимся первыми двумя членами разложения. Учтя уравнение (1) и обозначив, получаем Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.

(2)

Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера. Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h. Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h.

Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале.

Дата добавления: 2014-01-06