Постановка задачи. Пример использования функции для решения задачи Коши приведен ниже

Лекция № 5

Пример использования функции для решения задачи Коши приведен ниже.

Обратите внимание! У искомой функции явно указан аргумент, знак производной стоит перед скобкой.

Следующий пример демонстрирует решение краевой задачи. Использован другой способ записи производных, используется odesolve функция с двумя аргументами.

Тема: «Интерполяция зависимостей»

Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и др. областях составляют уравнения различного вида: нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, дифференциальные уравнения в частных производных и т.д. Для решения подобных уравнений необходимо иметь возможность вычислять значения функций, входящих в описание математической модели рассматриваемого процесса или явления, при произвольном значении аргумента.

Используемые в математических моделях функции могут быть заданы как аналитическим способом, так и табличным, при котором функция известна только при дискретных значениях аргумента. В частности если функциональная зависимость получена в результате расчетов, проведенных на ЭВМ или в процессе измерений, осуществленных в рамках какого-либо эксперимента, то она оказывается заданной именно табличным способом. В этом случае возникает проблема в вычислении значений функций при произвольном значении аргумента.

Пусть функция y(x) задана множеством своих значений для дискретного набора точек (т.е. таблицей):

x			…
y (x)			…

Аппроксимация – это приближение сложной функции более простой по виду аналитически заданной функцией, значение которой можно определить для любого значения аргумента.

Аппроксимирующую функцию будем строить таким образом, чтобы ее значения в точках совпадали с табличными значениями заданной функции y (x):

. (7.1)

Такой способ введения аппроксимирующей функции называют лагранжевой интерполяцией, а условия (7.1) – условиями Лагранжа. Аппроксимирующая функция, удовлетворяющая условиям Лагранжа, называется интерполяционной функцией. Значения в данном контексте называют узлами интерполяции.

Задача интерполяции состоит в нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми, путем вычисления значений интерполяционной функции. Если значение аргумента расположено внутри интервала, то нахождение приближенного значения функции y (x) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала, то процесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами: inter – между, внутри, extra – вне, pole – узел.

2. Интерполяция полиномом степени n

Интерполяция степенным многочленом (полиномом). Известно, что через точек на плоскости можно провести кривую, являющуюся графиком степенного многочлена (полинома) степени n, причем такой полином единственный. Например, через две точки на плоскости можно провести только одну единственную прямую, т.е. полином первой степени, через три точки – параболу – полином второй степени и т.д. Этот факт лежит в основе полиномиальной интерполяции, при которой функцию строят в виде полинома степени n. Если на всем интервале интерполяции, содержащем узлов, строят один полином степени n, то говорят о глобальной интерполяции. Если интервал интерполяции разбивают на меньшие отрезки, содержащие два или более узлов, и на каждом из отрезков строят свой (локальный) интерполяционный полином соответствующей степени, то говорят о локальной или многоинтервальной интерполяции.

Дата добавления: 2014-01-06