Лекция № 6. pspline(vx, vy). функции, возвращающие коэффициенты сплайнов

Cspline(vx, vy)

Lspline(vx, vy)

pspline(vx, vy). функции, возвращающие коэффициенты сплайнов

interp(vs, vx, vy, x). функция, возвращающая значение сплайна в точке x по исходным векторам vx и vy и по коэффициентам сплайна vs.

Функции lspline, pspline и cspline отличаются тем, что в окрестностях границ интервала точек интерполяция (и экстраполяция) осуществляется, соответственно, линейным, параболическим или кубическим полиномом. Внутри интервала точек интерполяция ведется кубическим полиномом во всех трех случаях.

Пример сплайн-интерполяции:

Тема: «Построение эмпирических зависимостей по методу наименьших квадратов (регрессионный анализ)»

Постановка задачи. Рассмотренный в предыдущей лекции способ аппроксимации функций предполагает точное совпадение значений аппроксимирующей и заданной функций в определенных точках – узлах интерполяции. В некоторых случаях такой способ построения аппроксимирующей функции оказывается совершенно нецелесообразным. Например, если речь идет об обработке экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений или измерений. Дело в том, что экспериментальные данные всегда содержат в себе ошибки различного рода, которые можно условно разбить на три категории по их происхождению и величине: систематические, случайные и грубые.

Систематические ошибки как правило дают отклонения в одну сторону от истинного значения измеряемой величины. Они могут быть постоянными или закономерно изменяться при повторении опыта, и их причины и характер известны. Систематические ошибки могут быть вызваны условиями эксперимента, дефектом измерительного прибора, его плохой градуировкой. Эти ошибки можно устранить наладкой аппаратуры или введением соответствующих поправок.

Случайные ошибки определяются большим числом факторов, которые не могут быть устранены или в полной мере учтены при измерении или при обработке результатов. Они имеют случайных, несистематический характер, дают отклонения от истинного значения в ту и другую стороны при повторении измерений. С вероятностной точки зрения математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Поэтому статистическая обработка данных позволяет определить величину случайной ошибки и уменьшить ее путем многократного повторения измерений. Однако многократное повторение измерений не всегда целесообразно, поскольку для этого могут потребоваться большие материальные или временные ресурсы. Значительно дешевле и быстрее можно получить уточненные данные надлежащей математической обработкой имеющихся результатов измерений.

Один из возможный путей математической обработки экспериментальных данных состоит в определении вида и параметров функциональной связи между исследуемыми величинами на основании результатов измерений.

Пусть, в ходе эксперимента по изучению зависимости между величинами y и x путем измерений была получена таблица значений:

x			…
y (x)			…

Задача состоит в том, чтобы найти формулу, (1)

приближенно выражающую эту зависимость. Приближенная зависимость (1), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

Построение эмпирической формулы с условием обязательного прохождения ее графика через экспериментальные точки (как это имеет место при интерполировании) означало бы тщательное повторение имеющихся в экспериментальных данных случайных ошибок. Поэтому здесь задача состоит в отыскании такой функции, график которой не проходит через экспериментальные точки, но при этом правильно отражает характер исследуемой зависимости. Разумеется, что график такой функции должен проходить по возможности близко от всех экспериментальных точек.

1. Определение параметров эмпирической формулы. Метод наименьших квадратов

Будем считать, что вид эмпирической формулы выбран, и ее можно представить в виде

, (2)

где – заданная функция, – неизвестные параметры. Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параметров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение данной функции, значения которой в точках равны ().

Как уже отмечалось выше, здесь не ставится условие совпадения экспериментальных данных со значениями эмпирической функции (3.20) в точках. Следовательно, эти значения могут отличаться (отклоняться) друг от друга на величину

,. (3)

Задача нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизации отклонений.

Один из способов решения этой задачи – среднеквадратичное приближение, суть которого состоит в следующем. Составим сумму квадратов отклонений для всех табличных точек:

. (4)

Параметры эмпирической формулы (2) будем определять из условия минимума функции. В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Поскольку неизвестные параметры выступают здесь в роли независимых переменных функции Q, то ее минимум (экстремум) найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным:

, (5)

или с учетом (4)

, (6)

где – значение частной производной от функции по параметру в точке.

Соотношения (6) – система линейных алгебраических уравнений для определения параметров.

Дата добавления: 2014-01-06