Формула Планка

.

Тогда с учетом формулы (1.7) выражение для спектральной плотности энергетической светимости АЧТ приобретает вид

. (1.9)

Этот результат известен под названием формулы Рэлея – Джинса, хотя он независимо и практически одновременно был получен также Максом Планком. Он применил теорему о равнораспределении энергии только к веществу, а не к излучению, считая вещество состоящим из большого числа гармонических осцилляторов со средней энергией .

Формула Рэлея – Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при малых частотах и резко расходится с опытом при больших частотах (малых длин волн). Более того, интегрирование (1.9) по всем частотам дает бесконечно большое значение энергии излучения (расходится при больших частотах). Это означает, что по теории Рэлея – Джинса тепловое равновесие между излучением и веществом невозможно (или возможно только при нулевой Т (0 К). Опыт же показывает, что равновесие между излучением и веществом устанавливается при конечных значениях энергии излучения.

Полученный Рэлеем и Джинсом результат, по образному выражению Пауля Эренфеста, получил название ультрафиолетовой катастрофы, т.е. АЧТ должно мгновенно испустить всю энергию в виде импульса коротковолнового излучения. Причина ультрафиолетовой катастрофы заключается в том, что в теории Рэлея – Джинса излучение в полости имеет бесконечное, а вещество – конечное число степеней свободы. Поэтому в предположении равномерного распределения энергии по степеням свободы при тепловом равновесии вся энергия должна была бы сосредоточиться в излучении.

С т. зрения законов классической физики вывод формулы Рэлея – Джинса являлся безупречным, но, тем не менее, приводил к неверному результату, резко расходящемуся с опытом.

В 1900 году Планку удалось найти вид функции , в точности соответствующей опытным данным. Пытаясь найти выход из сложившейся ситуации, Планк понял, что единственная возможность правильн6ого объяснения законов теплового излучения состоит в предположении, что электромагнитное излучение должно испускаться дискретными порциями энергии (квантами), величина которых пропорциональна частоте излучения:

. (1.10)

Если излучение испускается порциями ħω, то его энергия ε _n должна быть кратной этой величине (n = 0,1,2,…). Коэффициент пропорциональности ħ получил впоследствии название постоянной Планка и его значение, полученное из различных опытных данных, составляет

ħ= 1,054·10^-34 Дж·с.

Кроме постоянной ħ часто используется величина h = 2 πħ, являющаяся коэффициентом пропорциональности между энергией ε и частотой ν: ε = h ν. В механике есть величина, имеющая такую же размерность. Её называют действием. Поэтому постоянную Планка иногда называют квантом действия.

Введенное Планком квантование энергии излучения легко разрешает парадокс Рэлея – Джинса. Нагретые стенки полости можно условно заменить набором излучателей (осцилляторов) всевозможных частот. Излучатели малой частоты будут вести себя так, как полагается по законам классической статистической физики, для них скачкообразность энергии не существенна. Каждое из этих колебаний имеет энергию kT. Но излучатели, имеющие бóльшую частоту, для которых ħω>>kT, почти все будут находиться в состоянии с наименьшей энергией. Чтобы возбудить их, необходимо передать им энергию ħω, а это, согласно законам классической статистической физики, маловероятно. По закону Больцмана, вероятность приобрести энергию ħω пропорциональна exp(- ħω/kT), что составляет очень малую величину. Так что возбужденной окажется лишь малая часть таких излучателей. Излучатели высокой частоты оказываются «замороженными» в состоянии с минимальной энергией и вносят малый вклад в энергию излучения. Таким образом, ультрафиолетовая катастрофа равновесному тепловому излучению не грозит.

Для получения правильного выражения для средней энергии колебаний электромагнитного излучения обратимся к распределению Больцмана. Согласно этому распределению, вероятность Р _n того, что энергия колебаний имеет значение ε _n = nħ ω (n = 0, 1, 2, …) определяется выражением

(1.11)

где N _n - число осцилляторов, находящихся в состоянии с энергией ε _n; N – полное число осцилляторов. Тогда среднее значение энергии колебаний можно определить как

(1.12)

Введем переменную и допустим, что x может изменяться непрерывно. Тогда выражение для можно записать иначе

(1.13)

Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной геометрической сходящейся прогрессии. Значение этой суммы равно Подставив это значение в (1.13) и выполнив дифференцирование, получаем выражение для средней энергии излучения частоты ω:

(1.14)

Если бы энергия изменялась непрерывно, а это было бы при ħ →0 (именно так и обстоит дело в классической физике), то легко убедиться, что выражение (1.14) соответствовало бы классической теореме о равнораспределении энергии Умножив по формуле (1.14) на число колебаний в интервале частот d ω (формула (1.8), получаем выражение для спектральной плотности энергии единичного объема:

(1.15)

Cоответственно с этим определяем спектральную плотность энергетической светимости АЧТ

(1.16)

Последние два выражения (1.15) и (1.16) называются формулами Планка. Эти зависимости точно согласуются с экспериментальными данными во всем диапазоне частот от нуля до бесконечности и при любых температурах. Гораздо позднее (1926 г.) для обозначения кванта излучения Дж. Льюисом был введен термин фотон. Использование этого понятия позволяет легко получить формулу Планка, описывающую спектр излучения абсолютно черного тела.

Рассмотрим некоторую полость, находящуюся в тепловом равновесии с излучением ее атомов. Допустим, что каждому электромагнитному колебанию частоты ω соответствует определенное количество атомов с двумя энергетическими состояниями, отличающимися на энергию ω = ħ ω. Состояние с меньшей энергией назовем «основным», с бóльшей – «возбужденным». Пусть N _осн и N _воэб – средние числа атомов в основном и возбужденном состояниях; тогда для теплового равновесия при температуре Т из статистической механики следует

(1.17)

Рис.4.

Каждый атом в основном состоянии может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние (рис.4 а), и каждый атом в возбужденном состоянии может испустить фотон и перейти в основное состояние (рис.4 б). Количество поглотительных переходов пропорционально числу атомов в основном состоянии N _осн, вероятности данного перехода Р, зависящей от свойств атомов, и интенсивности падающего излучения, т.е. среднему числу фотонов , находящихся в состоянии с частотой ω. Количество же переходов атомов из возбужденного состояния в основное (спонтанных переходов) пропорционально числу атомов в возбужденном состоянии N _возб и вероятности данного перехода, равной вероятности поглотительного перехода Р. Спонтанное излучение не зависит от интенсивности падающего света. Эйнштейн первый понял, что только этих двух переходов недостаточно для установления равновесия между излучением и веществом («вещество поглощает, сколько дадут, а излучает, сколько может»). Он предположил, что существует испускательные переходы третьего типа, зависящие от интенсивности падающего излучения. Такие переходы сопровождаются индуцированным излучением той же частоты, что и падающее излучение (рис. 5). Число таких переходов пропорционально числу атомов в возбужденном состоянии N _возб, вероятности данного перехода Р и интенсивности падающего излучения (т.е. среднему числу фотонов в состоянии с частотой ω).

Рис. 5.

Итак, число переходов из основного состояния в возбужденное равно

,

а число переходов из возбужденного состояния в основное в сумме составит

При равновесии число переходов в обоих направлениях должно быть одинаковым (при равновесии каждый процесс должен быть уравновешен противоположным процессом, это так называемый принцип детального равновесия). Отсюда следует

После сокращения на одинаковую вероятность Р получаем

Сопоставляя это с (1.17), имеем

Откуда находим среднее число фотонов в любом состоянии с частотой ω при тепловом равновесии в полости

Поскольку энергия каждого фотона ε = ħ ω, то средняя энергия фотонов будет равна

т.е. приходим к планковской формуле (1.14).

Найдем теперь выражение для энергетической светимости АЧТ (расчет именно этой величины поставил крест на формуле Рэлея – Джинса!).

За счет наличия экспоненты в знаменателе этот интеграл уже не расходится. Введя безразмерную переменную для R ^* получаем

Значение указанного интеграла равно (см. приложение). Подставляя это значение в последнее выражение, приходим к закону Стефана – Больцмана:

,

где - постоянная Стефана – Больцмана. После подстановки всех констант получаем σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²К⁴), что прекрасно согласуется с экспериментальным значением. Если тело не является АЧ, то закон Стефана – Больцмана записывают в виде

где η < 1 называют степенью черноты тела.

Кроме того, из формулы Планка можно получить и закон смещения Вина. Для этого необходимо воспользоваться формулой (1.4), позволяющей перейти от спектральной плотности энергетической светимости АЧТ как функции частоты к спектральной плотности как функции длины волны Затем продифференцируем по λ и положим производную равной нулю. В итоге, введя переменную где λ_max – значение длины волны, которой соответствует максимум спектральной плотности энергетической светимости получаем трансцендентное уравнение

Его корень х = 4,965. Следовательно,

Где b – постоянная закона смещения Вина. Подстановка значений ħ, с и k дает для b величину, совпадающую с экспериментальным значением

b = 2,90·10^-3 м·К.

В заключение заметим, что формула Планка была не только самой первой формулой, но и самой первой мыслью квантовой механики. И она явилась великолепным ответом на все недоумения предшествующих десятилетий.

Дата добавления: 2014-01-06