Биноминальное распределение

Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р (следовательно, вероятность непоявления q=l-р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины X. Для ее решения требуется определить возможные значения X и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза,..., либо n раз. Таким образом, возможные значения X таковы: , , , …, . Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли: , где k=0, 1, 2, …, n.

Формула Бернулли и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: .

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события n—1 раз;...; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X - числа выпадений «герба».

Решение: Вероятность появления «герба» в каждом бросании монеты р=1/2, следовательно, вероятность непоявления «герба» q=1-1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: , , . Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

;

;

.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25=1.

Дата добавления: 2014-01-06