Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Задать случайную величину можно также с помощь так называемой функции распределения. Рассмотрим случайную величину X. Пусть x ее отдельное значение. Тогда {X < x} – будет означать событие, что случайная величина X примет значение меньше x.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины X выражает вероятность того, что X примет значение меньше x, т.е.

F(x) = P( X < x ) (1)

Свойства функции распределения:

1) F(– ¥) = 0;

2) F(+ ¥) = 1 (так как X < + ¥ означает, что случайная величина X принимает все значения, а вероятность такого события равна 1);

3) Согласно своему определению функция распределения F(x) выражает вероятность и поэтому 0 £ F(x) £ 1;

4) Вероятность попадания случайной величины X в промежуток [a, b] определяется формулой P(a £ X < b ) = F(b) – F(a) (2)

Существуют случайные величины, множество значений которых заполняет некоторый числовой промежуток. Такие случайные величины можно задать с помощью функции распределения. Если функция F(x) распределения случайной величины X непрерывна и имеет почти всюду непрерывную производную, то случайную величину X называют непрерывной. Производная F’(x) функции F(x) называется плотностью вероятности случайной величины X и обозначается f(x). Таким образом, плотность вероятности случайной величины X – это есть f(x) = F’(x).

Непосредственно из определения плотности вероятности случайной величины X вытекают следующие ее свойства:

1) f (x) ³ 0;

2) ;

3)

4)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение, равна нулю.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число, определяемое равенством

Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины X определяется по формуле:

Дата добавления: 2014-01-06