Понятие о законе больших чисел

Следующие утверждения и теоремы составляют содержание группы законов, объединенных общим названием закона больших чисел.

Лемма Чебышева. Если X – неотрицательная случайная величина и M(X) – ее математическое ожидание, что для любого A > 0 имеет место неравенство

P(X > A) £

или

P(X £ A) ³ 1 –

Если случайная величина имеет дисперсию D(X), то для любого e > 0 имеет место неравенство Чебышева:

P(|X – M(X)| > e) < 1 –

или

P(|X – M(X)| £ e) ³ 1 – (1)

Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то неравенства Чебышева принимают более простой вид:

(2)

где M частота, а M/n – частость.

В неравенстве (1) разность |X – M(X)| есть отклонение случайной величины X от ее математического ожидания. Поэтому неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине положительного числа e, не меньше разности между единицей и дробью, числитель которой – дисперсия случайной величины, а знаменатель – квадрат e.

Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если случайные величины в последовательности X₁, X₂, X₃, …, X_n, … попарно независимы, а их дисперсии удовлетворяют условию

то для любого e > 0

Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Т.е. если e − сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

§14. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема): если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

Приведем формулировку центральной предельной теоремы, которая устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть X ₁, Х ₂,..., Х_п − последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(X_k) = a_k, D(X_k) =

Введем обозначения:

S_n = X ₁ + Х ₂ +... + Х_п,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Говорят, что к последовательности Х ₁, Х₂,… применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при n ® ¥ стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины Х₁, Х₂, … одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин X_i (i = l,2,...) конечны и отличны от нуля. А. М. Ляпунов доказал, что если для d > 0 при n ® ¥ отношение Ляпунова

стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности X₁, Х₂,... применима центральная предельная теорема.

Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (S_n − А_п)/В_п оказывало на сумму ничтожное влияние.

Дата добавления: 2014-01-06