Учёт свойсв симметрии при раскрытии статической неопределимости методом сил

Лекция 13

Система называется симметричной, если она обладает плоскостью симметрии, и жёсткости симметричных элементов одинаковы. При расчёте таких систем оказывается возможным упростить решение задачи и снизить число искомых лишних неизвестных усилий за счёт рационального выбора основной системы.

Для примера возьмём симметричную раму, показанную на рис. 13.1, а. Рассмотрим случаи нагружения рамы симметричной и кососимметричной нагрузками.

Рис. 13.1

Симметричной называют такую нагрузку, при которой внешние силы, приложенные к правой части системы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой части (рис. 13.1, б).

Кососимметричной называют такую нагрузку, при которой силы, приложенные к правой половине системы, также являются зеркальным отображением сил, приложенных к левой половине, но противоположны им по знаку (рис. 13.1, в).

Аналогично можно классифицировать и внутренние силовые факторы. Напомним, что в общем случае действия сил в поперечном сечении стержня возникает шесть силовых факторов N, Q_x, Q_y, M_к, M_x, M_y. Причём внутренние силы и моменты, приложенные к правой и левой плоскостям сечения равны по величине и одинаковы по знаку. Отсюда следует, что продольная сила N и изгибающие моменты M_x, M_y являются симметричными внутренними силовыми факторами, так как представляют зеркальное отображение относительно плоскости сечения. Крутящий момент M_к и поперечные силы Q_x,_,Q_y являются кососимметричными силовыми факторами.

Можно доказать, что у симметричной системы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в нуль кососимметричные факторы, а при кососимметричной нагрузке - симметричные силовые факторы.

Покажем это на примере симметричной рамы, изображённой на рис. 13.1. Выберем для расчёта симметричную основную систему, разрезав раму по плоскости симметрии (рис. 13.2). К сторонам разреза приложим в качестве лишних неизвестных симметричные силовые факторы X ₁ (изгибающие моменты), X ₂ (продольные силы) и кососимметричные X ₃ (поперечные силы).

Рис. 13.2

Запишем систему канонических уравнений для трижды статически неопределимой рамы:

(13.1)

Уравнения (13.1) выражают равенство нулю полных взаимных перемещений сторон разреза по направлениям лишних неизвестных. Так первое уравнение системы (13.1) означает равенство нулю взаимного угла поворота, второе уравнение - взаимного горизонтального перемещения, третье уравнение – взаимного вертикального перемещения. Заметим теперь, что в этих уравнениях коэффициенты δ _ik, у которых один индекс принадлежит симметричному, а другой – кососимметричному фактору, обращаются в нуль, т.е. .

Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно также не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится очевидным, если для определения перемещений δ _ik применить способ Верещагина. В симметричной раме эпюра изгибающих моментов от симметричных силовых факторов будет симметричной (рис. 13.3, а, б), а от кососимметричных – кососимметричной (рис. 13.3, в)

Рис. 13.3

При перемножении симметричной эпюры на кососимметричную, очевидно, получим нуль, в то время как перемножение симметричной эпюры на симметричную и кососимметричной на кососимметричную даёт результат, отличный от нуля.

Итак, вычёркивая из системы уравнений (13.1) коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем

(13.2)

Как видим, система канонических уравнений упростилась.

Если при этом внешняя нагрузка симметрична (эпюра M_F будет симметричной), то Δ_{3 F} =0. Тогда из третьего уравнения системы (13.2) получаем, что кососимметричный фактор X ₃=0.

Если нагрузка кососимметричная (эпюра М_F будет кососимметричной), то Δ_{1 F}= Δ_{2 F} =0. Тогда первые два уравнения системы (13.2) образуют однородную систему

;

,

решением которой будет X ₁ =X ₂ = 0, т.е. равенство нулю симметричных силовых факторов.

Всё сказанное справедливо как для плоских, так и для пространственных стержневых систем.

Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, то её удобно разложить на симметричную и кососимметричную, как это показано, например, на рис.13.4. Задача, таким образом, распадается на две отдельные: симметричная рама с симметричной нагрузкой и рама с кососимметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в заданной раме определяются в дальнейшем наложением полученных решений.

Рис. 13.3

Дата добавления: 2014-01-06