Векторные диаграммы

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (I_m, E_m, U_m) и начальные фазы (α, α₁, α₂).

Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически.

Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Синусоидальную величину (например, u = U_m cos(ωt + α)) изображают в виде радиуса-вектора (см. рис.10), иногда просто U_m или U, или вектором на комплексной плоскости, тогда между гармонической величиной и вектором на комплексной плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое записывается в виде u→U_me^j(ωt+α) = ů-комплексное мгновенное значение.

ω

Ū_m

α

Рис.10

α – угол, образованный U_m с осью Х в начальный момент времени, называемый начальной фазой. Вектор U_m вращается в заданной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки. Причем проекция этого вектора на ось «х» в любой момент времени и определеяет гармоническую величину Пр(U_m)_х = U_m cos(ωt + α). Направление вектора не указывает направление действия напряжение (или тока и э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и направление силы, скорости, ускорения.

Сумма двух синусоидальных величин изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов – исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к исходному.

Пусть необходимо сложить две гармонические функции с одинаковым периодом, но разными начальными фазами (см.рис.11):

u₁ = U_m1 cos (ωt + α₁) и u₂ = U_m2 cos (ωt + α₂).

Рис.11

По известному правилу сложения векторов можно получить вектор , изображающий сумму обеих функций u₁(t) и u₂(t), как геометрическую сумму векторов , изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно с угловой скоростью ω. Поэтому практически всегда изображают относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.

Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ = U_m, фазу α

Часто нужно вычислять производную или интегралы гармонических функций времени типа u(t) = U_mcos(ωt + α). Имеем

.

Дата добавления: 2014-01-06