Статистическое обоснование второго начала термодинамики

Для равновесных систем вероятность возникновения флуктуации обратно пропорциональна её величине – чем больше величина отклонения, тем меньше вероятность её возникновения. Например, вероятность того, что все молекулы газа соберутся в одной части сосуда очень мала, т.е. процесс самопроизвольного перехода в неравновесное состояние маловероятен, что согласуется со вторым началом термодинамики. Всякий самопроизвольный необратимый процесс, переводящий систему из неравновесного состояния в равновесное, с гораздо большей вероятностью протекает в природе, чем обратный ему процесс. Необратимыми являются те процессы, вероятность протекания которых в прямом направлении выше, чем в обратном. Это приводит к возникновению в природе преимущественного направления протекания термодинамических процессов. Термодинамической величиной, характеризующей направление протекания процесса, является энтропия.

Пусть в сосуде, объем которого V₀ находится одна молекула. Тогда вероятность того, что она будет находиться в части сосуда, объём которой V, равна . Если молекул две, то , а если их число равно N, то . Поэтому отношение вероятностей для разных объёмов равно .

С другой стороны, рассмотрим изотермическое расширение идеального газа от объёма V₁ до объёма V₂. В этом случае dU =0, поэтому dQ=d A =n RT ×dV. Следовательно,

.

Однако, , поэтому .

Из этой формулы следует, что энтропия состояния пропорциональна вероятности того, что система придет в это состояние.

Статистическим весом G (часто обозначают также W) макроскопического состояния называется величина, численно равная количеству равновесных микросостояний, с помощью которых может быть реализовано рассматриваемое макросостояние. Статистический вес пропорционален вероятности G ~ p. Если система состоит из N частиц, каждая из которых может находится в одном из К дискретных состояний, то статистический вес системы равен , а соответствующая вероятность , где N_i – число частиц в состоянии с номером i, и .

Данное рассуждение может служить обоснованием для формулы Больцмана, связывающей энтропию со статистическим весом

.

Замечание. Для статистической энтропии также выполняется закон аддитивности – если систему разбить на две невзаимодействующие между собой части, то и

.

Замечание. С законом возрастания энтропии связана «тепловая смерть» Вселенной, т.е. состояние с максимальной энтропией и максимальным статистическим весом. Но в такой системе должны происходить флуктуации. Сегодняшнее состояние Вселенной является такой флуктуацией.

Дата добавления: 2014-01-06