КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения динамики точки
Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона: , , причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: . Если известен закон движения (например из кинематики): , , , то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки. Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.
Формы дифференциальных уравнений движения 1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения. 2) Умножим на (векторно): или - уравнение момента количества движения. [Почему? – самостоятельно. Учесть ]. Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы. Подробная запись (координатная): 3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :
. - уравнение кинетической энергии. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. О первых интегралах (законы сохранения). Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом. Получим такие условия. Если - первый интеграл, то и 1) Если Fx = 0, то , - интеграл количества движения (закон сохранения количества движения). 2) Если (то есть проекция момента силы на ось z),
то из , - интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения). 3) Получим интеграл энергии. . Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции – потенциала силового поля .
Тогда: , , .
Работа: . Чтобы было полным дифференциалом: 1) - то есть поле стационарно (не зависит от t). 2) , с условиями из высшей математики:
; ;
или ; ; или
Иначе: если и , то и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах: . Интегрируя: . Введём потенциальную энергию: . Тогда: - интеграл энергии (закон сохранения механической энергии). Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной. Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий. Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным. Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51). Рис.51.
Работа: , что и требовалось доказать. . Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).
Рис.52.
Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики. 2. Напишите уравнение момента количества движения точки. 3. Что называется перовым интегралом дифференциального уравнения? 4. Какое силовое поле называется консервативным?
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 685; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |