Операции над событиями

Вернемся к определению случайного события. В некотором опыте случайное событие можно рассматривать как некоторое подмножество пространства элементарного события W, т.е. “комбинацию” элементарных событий.

Основное множество событий W будем изображать прямоугольником. Пусть опыт состоит в том, что внутри прямоугольника выбирается наудачу точка. Пусть А – событие, состоящее в том, что выбранная точка лежит внутри меньшего круга, В – событие, состоящее в том, что выбранная точка лежит внутри большего круга. В этом случае все перечисленные ниже операции над событиями имеют простую геометрическую интерпретацию, и их удобно изображать на схеме Эйлера-Венна.

События А, , В, состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на рис. 1 - 4.

А В

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Определение. Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В и обозначается А Ì В (рис. 5)

А Ì В

Рис. 5

Определение. Суммой (объединением) событий А₁, A₂,…, A_n называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате опыта, и обозначается

С = А₁ + A₂ + … + А_n = = A₁ È A₂ È …È A_n.

Если имеются два совместных события А и В, то сумма (А + В) или (А È В) обозначает, что наступило событие А или событие В, или оба события вместе (заштрихованная область на рис. 6).

Если же события несовместны, то событие (А + В) заключается в том, что наступило событие А или событие В, так как совместное наступление событий А и В невозможно (рис.7)

(А + В), (А È В) (А + В), (А È В)

Рис. 6 Рис. 7

Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Опыт – вынимается один шар из урны. Возможны следующие события: А – вынут красный шар, В – вынут белый шар, С – вынут черный шар. Событие А + В означает, что произошло событие “вынут красный или белый шар” или иначе “вынут не черный шар”, а событие В + С - “вынут не красный шар”, или иначе “вынут белый или черный шар”.

Определение. Произведением (пересечением) событий А₁, A₂, …, A_n называется такое событие С, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают все события А₁, A₂, …,A_n одновременно или последовательно в зависимости от того, как организован опыт, и обозначается

С = А₁ × А₂ × … A_n = А₁ A₂ … A_n = A _i = A₁ Ç A₂ Ç …Ç A_n

Если имеются два совместных события А и В, то произведение АВ означает, что произошли оба события и А, и В (рис.9). Если события несовместны, то событие АВ является невозможным (рис. 10)

АВ АВ = Æ

Рис. 9 Рис. 10

Пример. Опыт – вытаскивание карт из колоды. Событие А – из колоды карт вынута дама, В – из колоды карт вынута карта пиковой масти. Очевидно, АВ есть событие “вынута дама пик”.

Определение. События называются совместными в совокупности, если каждое из них и произведение остальных являются совместными событиями.

Из определения произведения следует, что события, участвующие в произведении, должны быть совместными в совокупности. В противном случае произведение событий является событием невозможным.

Пример. Бросается игральный кубик. Исходами этого опыта являются события А _i, i = 1, 2,…, 6, состоящие в том, что число выпавших очков равно i. Выделим следующие возможные события: В – число выпавших очков меньше 4, С – число выпавших очков больше 2, D – число выпавших очков четно.

Событию В благоприятствуют события А₁, А₂, А₃, событию С – А₃, А₄, А₅, А₆, а событию D – А₂, А₄, А₆. Произведением событий В и С является событие А₃, т.е. ВС = А₃. События А₃ и D несовместны, т.е. число 3 не является четным, поэтому событие A₃ D = ВСD является невозможным.

Определение. Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит и обозначается А \ В, читается “А без В” (рис. 11).

С учетом определения разности событий событие можно записать равенством = W \А.

А \ В = W \А

Рис.11

Определение. События А₁, А₂,…,A_n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из А _i (i = 1, 2, …, n) непременно произойдет в результате опыта, т.е. если = W, и при этом все они попарно несовместны.

Пространство элементарных событий образует полную группу попарно несовместных событий.

Можно доказать, что противоположные события образуют полную группу событий. Действительно, если в результате опыта не произойдет одно из событий, то обязательно произойдет другое, так как, по определению полной группы, одно из них должно обязательно произойти. Такие события, по определению, называются противоположными.

Используя операции сложения и умножения, можно сложные события разложить на более простые события, и наоборот.

Пример 1. Записать пространство элементарных событий W для следующих экспериментов:

а) бросается 1 раз правильная симметричная монета,

б) бросается 1 раз правильная игральная кость,

в) выбирается наугад любое число, заключенное между числами а и в,

г) бросаются правильная игральная кость и правильная монета.

Решение:

а) Очевидно, что в этом случае пространство элементарных событий состоит из двух событий: пусть Г – событие, состоящее в том, что при подбрасывании монеты она упала гербом вверх, Р – упала гербом вниз. (Строго говоря при бросании монеты не обязательно выпадает герб или решка, монета может куда-нибудь укатиться или стать на ребро. Тем не менее, мы условимся рассматривать герб или решку как единственно возможные исходы бросания монеты. Это соглашение не сказывается на возможности применения теории, но заметно упрощает ее). Следовательно, W = {Г, Р}.

б) В этом эксперименте возможны следующие исходы: кость может упасть гранью с шестью очками вверх – событие обозначим А₆, может упасть 5-ю очками вверх – событие А₅ и т.д. Т.е. пространство элементарных событий состоит из шести событий W = {А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆}, где А _i (i = 1, 2,…, 6) – событие, состоящее в том, что кость упала гранью с i очками вверх.

в) Если выбирается одно число, заключенное между а и в, то пространство элементарных событий состоит из событий вида А_t (а < t < в), где А_t – событие, состоящее в том, что выбрано число t. Очевидно, что событий вида А_t (а < t < в) бесконечно много. W= {t: а £t £в}.

г) В этом случае могут быть следующие исходы опыта. Введем обозначения: В_1j, j = 1,…, 6 – “кость выпала j очками вверх и монета гербом вверх”, В_2j, j = 1,…, 6 –“кость выпала j очками вверх и монета упала решкой” вверх.

Пример 2. В микрорайоне 4 хлебно-булочных киоска. Жителю этого микрорайона необходимо купить к ужину хлеб. Записать пространство W, считая, что элементарное событие – результат посещения киоска (хлеб куплен - 1 или его нет - 0).

Запишем пространство элементарных событий W = {1, 01, 001, 0001, 0000}.

Пример 4. Опыт – подбрасывание 1 раз игрального кубика. Обозначим элементарные события А_k (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение k очков, сложные события

А – выпадение четного числа очков,

В – выпадение нечетного числа очков,

С – выпадение числа очков кратного трем,

D – выпадение числа очков, большего трех,

Е – число очков дробно,

F – число очков в промежутке (0,5; 1,5).

Выразить события A, B, C, D, E, F через события А_k. Выявить пары совместных событий.

Решение. Пространство элементарных исходов для данного опыта – это возможное число очков, выпавших на верхней грани, т.е.W = {А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆}.Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А₂, или А₄, или А₆. Это означает, что А = А₂ + А₄ + А₆, где события А₂, А₄, А₆ – несовместные события в данном опыте. Рассуждая аналогичным образом, получаем В = А₁ + А₃ + А₅, С = А₃ + А₆, D = А₄ + А₅ + А₆, E = Æ, F = А₁. Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов, находим пары совместных событий А и С, А и D, В и С, В и D, В и F, С и D.

Пример 5. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по мишени. Записать пространство W и выразить события:

А – одно попадание, В – два попадания, С – три попадания, D – три промаха, Е – хотя бы одно попадание, F - хотя бы один промах, G – не меньше двух попаданий, К – не более одного попадания.

Если обозначить попадание через 1, а промах через 0, то пространство элементарных событий

W = {111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000}. Тогда события:

А = 100 + 010 + 001, В = 110 + 011 + 101, С = 111, D = 000,

Е = 100 + 010 + 001 + 011 + 110 + 101 + 111, F = 011 + 101 + 110 + 001 + 010 +100 + 000, G = 110 + 101 + 011 + 111, К = 000 + 001 + 010 + 100.

Дата добавления: 2014-01-06