Формула полной вероятности

Иногда найти вероятность интересующего нас события А, Р(А), по классической формуле трудно или принципиально невозможно. Однако известны или легко находятся условные вероятности события А относительно полной группы попарно несовместных событий Н₁ , Н₂ ,..., Н_n, называемых гипотезами. То есть событие А может произойти с одним из событий Н_к ,

Предположим, что известны вероятности гипотез Р(Н_к ) и условные вероятности Р(А/Н_к). В нашем случае Н₁ + Н₂ +... +Н_n = W, то есть событие достоверное. Можно показать, что

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример. Из 10 каналов радиосвязи 6 каналов защищены от воздействия помех. Вероятность того, что защищенный канал не выйдет из строя в течение времени τ равна 0.95, для незащищенного канала – 0.8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный радиотелеграфистом канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − канал радиосвязи не выйдет из строя за указанный промежуток времени. Для опыта – случайно выбирается один радиоканал – пространство элементарных событий Ω ={ Н ₁ , Н ₂ } состоит из 2 событий:

Н ₁ − канал защищен от воздействия помех,

Н ₂ − канал не защищен от воздействия помех.

Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности выбора защищенного и незащищенного каналов соответственно равны:

Р(Н ₁ ) = 6/10; Р(Н ₂ ) =4/10.

Событие А (канал радиосвязи не выйдет из строя) может происходить по условию задачи только вместе событиями Н ₁ (канал защищен) и Н ₂ (канал не защищен) т. е. (рис. 1).

Рис. 1

Вероятности того, что канал не выйдет из строя, равны соответственно

Р(А/Н ₁ ) = 0.95; Р(А/Н ₂ ) = 0.8.

По формуле (3) находим

Р(А) = Р(Н ₁ )Р(А/Н ₁ ) + Р(Н ₂ )Р(А/Н ₂ ) = 0.6×0.95 + 0.4×0.8 = 0.83.

Пример. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0.25; 0.35 и 0.40, соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0.1; 0.2 и 0.3. Определить вероятности того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.

Решение. Из условия задачи очевидно, что нас интересует событие А − лампа проработает заданное число часов. Для опыта – случайно берется одна лампа – пространство элементарных событий Ω ={ Н ₁ , Н ₂ , Н ₃ } состоит из 3 событий: Н ₁, Н ₂, Н ₃ − лампа принадлежит, соответственно, первой, второй и третьей партии. Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез.

По условию задачи вероятности того, что радиолампа принадлежит к одной из трех партий, соответственно равны:

Р(Н ₁ ) = 0.25; Р(Н ₂ ) = 0.35; Р(Н ₃ ) = 0.40.

Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно

Р(А/Н ₁ ) = 0.1; Р(А/Н ₂ ) = 0.2; Р(А/Н ₃ ) = 0.3.

По формуле (3) находим

Р(А) = Р(Н ₁ )Р(А/Н ₁ ) + Р(Н ₂ )Р(А/Н ₂ ) + Р(Н ₃ )Р(А/Н ₃ ) =

= 0.25×0.1 + 0.35×0.2 + 0.40×0.3 = 0.215.

Пример. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение. Пусть событие А − извлечен белый шар – интересующее нас событие. Для опыта – случайно берется один шар из урны. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

Н ₁ − белых шаров нет,

Н ₂ −один белый шар,

Н ₃ − два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равно возможны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е.

Р(Н ₁ )= Р(Н ₂ )= Р(Н ₃ )= 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, Р (А/Н ₁ ) = 1/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, Р (А/Н ₂ ) = 2/3.

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, Р (А/Н ₃ ) = 3/3 = 1.

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н ₁ )Р(А/Н ₁ ) + Р(Н ₂ )Р(А/Н ₂ ) + Р(Н ₃ )Р(А/H ₃ )=

= 1/3×1/3 +1/3×2/3+1/3×1=2/3.

Дата добавления: 2014-01-06