Случайные величины. До сих пор рассматривались результаты испытаний, как некоторые события и изучались вероятности этих событий

До сих пор рассматривались результаты испытаний, как некоторые события и изучались вероятности этих событий. Работать с ними непривычно. Попытка введения функций в теорию вероятности привела к новому понятию – случайной величине.

Опр. Случайной величиной Х называется числовая функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω. С. В. – это величина, связанная с экспериментом, принимающая в результате эксперимента вполне определенное единственное значение, но неизвестно какое именно до проведения эксперимента.

Те значения, которые может принимать случайная величина, называют ее возможными значениями Х = {х₁, х₂,…, х_n}

Примеры случайных величин:

1) Х = {1,2,3,4,5,6}- число выпавших очков при подбрасывании игральной кости;

2) Х = {0,1,2,3}- число гербов при трехкратном подбрасывании монеты;

3) Х = [а,в] – наружный диаметр трубы, отрезок числовой оси;

4) Х = [0,t] – время безотказной работы некоторого устройства.

Так как пространство элементарных событий Ω может быть как дискретным, так и непрерывным, то случайная величина Х может быть двух типов: дискретной и непрерывной.

1) С.В. дискретная, если она принимает изолированные значения,

2) С.В. непрерывная, если ее значения заполняют полностью отрезок числовой оси.

Для характеристики С.В. кроме ее значений надо знать, как часто встречаются те или иные значения С.В.

С.В. считается определенной (заданной), если известны ее возможные значения и соответствующие этим значениям вероятности.

Опр. Законом распределения С.В. называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями С.В. Х и соответствующими вероятностями.

Наиболее общей формой закона распределения С.В. является функция распределения F(х).

Опр. Функцией распределеня С.В. Х называется ф-ция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение меньше х, т.е. F(х) = Р(Х<х). Эта функция связывает математический анализ с теорией вероятности.

Геометрический смысл ф-ции распределения состоит в том, что это вероятность того, что значение С.В. на оси ОХ находится левее х.

Функция распределения F(х) обладает следующими свойствами:

1) F(-) =P(X <-) = P(Ø) = 0;

2) F (+) = P(X<+) = P(Ω) = 1;

3) как вероятность случайного события;

4) F(х) – неубывающая функция: если х₁ < х₂, F(x₁) F(x₂);

5) .

Дата добавления: 2014-01-06