Нормальное распределение

Опр. Говорят, что СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами а и σ > 0, если она может принимать любые вещественные значения и ее плотность распределения имеет вид а – любое, σ > 0.

Если Х имеет нормальное распределение, то будем это записывать в виде .

N(0,1) – стандартное нормальное распределение

f(x) – симметрична относительно прямой х = а. При уменьшении σ график стягивается к своей оси, симметрично х = а.

Функцию распределения F(x) нормальной СВ с параметрами а и σ можно выразить через Φ(х) – функцию распределения нормальной СВ с параметрами а=0 и σ=1. Для этого достаточно сделать замену переменных

- функция Лапласса

Вероятность того, что СВ отклоняется от своего среднего значения на величину nσ равна , т.е.

Данная вероятность не зависит от параметров распределения

Правило 3-х «σ»:

Если СВ имеет нормальное распределение, то отклонение СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превосходит утроенного среднеквадратичного отклонения.

Задача 1. Цена деления шкалы амперметра равна 0.1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0.02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как СВ Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.

.

Ошибка отсчета превысит 0.02, если она будет заключена в интервале (0.02;0.08).

.

Задача 2. СВ Х распределена по нормальному закону, причем МХ = 10, DX = 4. Найти:

Решение.

Задача 3. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

Решение.

Определение. Каждый из возможных исходов опыта называется элементарным случайным событием.

Случайное событие обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С ,… и т.д.

Определение. Совокупность (множество) всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий, обозначается W.

Определение. Под случайным событием будем понимать событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта.

Пример. Опыт: бросается игральный кубик. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Определение. Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом эксперименте. Достоверное событие обозначается символом W.

Определение. Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не происходит в рассматриваемом эксперименте. Оно обозначается символом Æ.

Определение. Два события А и В называют несовместными, если они не могут наступить вместе в одном опыте.

Определение. Два события А и В называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном опыте.

Определение. Противоположные (дополнительные) события это такие события А и , заполняющие все пространство элементарных событий W данного опыта, что наступление одного из них в результате данного опыта исключает появление другого (читается “не А”). Следует заметить, что события А и несовместны.

Определение. Суммой (объединением) событий А₁, A₂,…, A_n называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате опыта, и обозначается

С = А₁ + A₂ + … + А_n = = A₁ È A₂ È …È A_n.

Определение. Произведением (пересечением) событий А₁, A₂, …, A_n называется такое событие С, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают все события А₁, A₂, …,A_n одновременно или последовательно в зависимости от того, как организован опыт, и обозначается

С = А₁ × А₂ × … A_n = А₁ A₂ … A_n = A _i = A₁ Ç A₂ Ç …Ç A_n

Определение. События называются совместными в совокупности, если каждое из них и произведение остальных являются совместными событиями.

Определение. События А₁, А₂,…,A_n образуют полную группу событий, если хотя бы одно из А _i (i = 1, 2, …, n) непременно произойдет в результате опыта, т.е. если = W, и при этом все они попарно несовместны.

Пространство элементарных событий образует полную группу попарно несовместных событий.

Дата добавления: 2014-01-06