Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Свойства функции Лапласа

1. Функция Лапласа нечетна:
2. Функция Лапласа – монотонно возрастающая;
3. т.е. прямые и являются горизонтальными асимптотами (правой и левой соответственно) графика ; на практике полагаем при

График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.

Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие 1. Вероятность того, что число наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины не более чем на (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Следствие 2. Вероятность того, что доля наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от вероятности p наступления этого события в одном испытании не более чем на (по абсолютной величине), вычисляется по формуле

Пример. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.

Решение. Искомые границы для числа проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) определяются величинами и (см. интегральную теорему Муавра-Лапласа). Будем предполагать, что искомые границы симметричны относительно величины , где и . Тогда , для некоторого , и, тем самым, единственной определяющей неизвестной данной задачи становится величина . Из следствия 1 и условия задачи следует, что

По таблице значений функции Лапласа найдем такое , что

Тогда и . Окончательно получаем искомые границы: т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) попадет в интервал (116; 184).

Пример. В лесхозе приживается в среднем 80% саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.

Решение. – вероятность прижиться для каждого из саженцев, . Пусть – необходимое число саженцев (искомая величина данной задачи) и – число прижившихся из них, тогда – доля прижившихся саженцев. По условию,

Данные границы для доли симметричны относительно величины , поэтому неравенство равносильно неравенству

Следовательно, вероятность 0,9981 – это та самая вероятность, которая вычисляется по следствию 2 из интегральной теоремы Муавра-Лапласа при , :

По таблице функции Лапласа найдем такое значение , что Это значение: Тогда

и

Заметим, что значение округлено до целых в большую сторону, чтобы обеспечить, как говорят, “запас по вероятности”. Кроме того, видно, что полученное значение достаточно велико (более 100), поэтому применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа для решения данной задачи было возможно.

Дата добавления: 2014-01-06