Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Погрешности интерполяционных формул




 

Ниже остановимся лишь на основных элементах методики оценки погрешности интерполяционных формул, постараясь сохранить ее логическую схему.

Пусть y=f(x), - интерполируемая функция, а Pn(x)- ее интерполяционный многочлен. Тогда погрешность Rn(x) интерполяции функции в точке х равна

 

Rn(x)=f(x) – Pn(x),

 

откуда

f(x)=Pn(x)+Rn(x) (2.8)

 

Добавим теперь точку x к заданным узловым точкам и рассмотрим интерполяционный многочлен Pn+1(z) в форме Ньютона, построенный уже по (n+2) точкам х0, х1…хn, x. Его значение в точке x равно:

 

Pn+1(x)=f(x)+(x-x0)f(x0, х1)+...+(х-х0)...(х-хn)f(x0,...хn, х)

Но, по построению, , а первые слагаемых правой части представляют собой . Таким образом,

.

Сравнивая теперь это соотношение с (2.8),получаем

 

(2.9)

 

Это и есть одна из форм представления погрешности аппроксимации. Её недостатком является то обстоятельство, что для вычисления необходимо значение , которое неизвестно. В качестве выхода из такого положения остаётся взять лишь его приближённое значение, т.е. , однако в этом случае соотношение (2.9) становится уже приближённым.

Если же предположить, что функциядостаточно гладкая и имеет непрерывные производные до -го порядка включительно, то из формулы

,

справедливость которой следует по индукции, по теореме о среднем вытекает соотношение

 

,

где Тогда (2.9) принимает вид

 

(2.10)  

 

 

Недостатком этого соотношения является то, что неизвестно значение . Однако, если известен вид функции ,то полезной может оказаться оценка

В том случае, когда узловые точки равноотстоящие и , , то по индукции можно показать, что

(2.11)

Если к ним добавить точку не изменяющую характер расположения узлов, то формула остаётся справедливой и для разделённой разности следующего порядка. Т.е.

.

В противном случае, последнее равенство становится приближённым, и сделав в замену , получим

  (2.12)  

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 445; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.