Предварительные замечания

Лекция 4. Решение нелинейных уравнений

Варианты индивидуальных заданий

1. При помощи ручного просчета найти решение системы линейных уравнений Аx=b методом Жордана – Гаусса, заданную своей расширенной матрицей согласно варианта задания. Вычисления провести с выбором определяющего элемента.

2. Написать программу решения системы методом Зейделя Аx=b, заданной своей расширенной матрицей. Максимальное количество уравнений в системе равно восьми. Исходные данные программы - расширенная матрица системы и значение допустимой погрешности. Выходные данные - вектор-столбец Х решения системы, проверка решения А*x и количество итераций, выполненное для получении решения.

Варианты систем для задания 1

№ 1 -6 -2 -4 68 -4 2 5 -1 -3 -1 -5 43	№ 2 -5 3 2 -24 3 3 5 -29 -4 -1 5 -43	№ 3 -1 1 1 5 1 2 -5 -6 -2 -5 2 -25	№ 4 -2 4 -3 -2 -4 -1 2 5 -5 1 1 4	№ 5 -1 -2 -2 7 1 -3 -4 -3 3 -3 -2 -25
№ 6 -6 -1 5 6 -6 -2 -6 32 -6 -3 5 14	№ 7 -4 -4 -4 40 3 4 4 -37 2 -1 -6 26	№ 8 1 -3 -5 2 2 1 4 -17 4 -6 1 -19	№ 9 -4 -2 -5 16 1 -6 5 7 -4 3 1 -28	№ 10 -4 -3 4 -21 3 1 5 12 5 5 2 30
№ 11 -3 1 -1 -6 -4 -2 3 15 -2 1 -5 -18	№ 12 5 -6 5 20 -1 -4 -1 14 1 2 3 -28	№ 13 2 5 -1 -41 -2 5 1 -29 2 -4 -3 14	№ 14 1 -6 4 65 2 2 5 28 -1 -3 2 25	№ 15 5 5 -4 -42 -2 4 -1 -9 -2 4 -5 -21
№ 16 1 5 -3 -5 -5 5 -4 30 -4 -5 4 15	№ 17 4 1 -5 11 3 4 2 1 1 5 5 -10	№ 18 -5 2 -2 25 -5 -2 -3 30 -6 5 -6 14	№ 19 -1 -4 -1 22 -5 -4 -2 46 -6 -1 -1 40	№ 20 5 -6 -2 15 -6 2 -6 30 -5 -4 -4 57
№ 21 -6 2 -5 37 4 -6 -4 16 4 4 2 -42	№ 22 -3 5 1 17 1 1 -3 5 1 -4 5 -12	№ 23 4 -5 -2 -3 -4 5 -1 3 -2 -5 1 39	№ 24 -5 1 -3 -7 3 -1 -5 -35 1 4 1 -13	№ 25 -1 -4 -6 -17 -4 2 1 -10 5 5 -4 63

В которой излагаются простейшие методы решения нелинейных уравнений (половинного деления, касательных, хорд, итераций). На основе сжимающих отображений рассматриваются вопросы их сходимости и оценки погрешности.

Обычно процесс решения уравнения

, (4.1)

где - некоторая непрерывная функция, распадается на два этапа.

Первый из них заключается в установлении промежутка [ a, b ], на котором находится, по крайней мере, один корень уравнения (4.1). Этот этап называется отделением корней и может осуществляться различными способами. Один из них базируется на фундаментальном свойстве непрерывных функций, описанном теоремой Больцано-Коши:

  Пусть функция непрерывна на отрезке [ a, b ] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка , в которой .  

Геометрически это означает, что при выполнении указанных условий график функции на отрезке [ a, b ], хотя бы один раз, пересечёт ось ox (Рисунок 4.1).

y

f(a)×f(b) < 0

y=f(x)

a

c

x

b

Рисунок 4.1. Иллюстрация к теореме Больцано-Коши

Отсюда следует, что для отделения корней уравнения (4.1) на первоначально заданном отрезке [ А; В ] необходимо с некоторым шагом h провести вычисление функции в точках и выделить тот или те отрезки , для которых . Если с выбранным значением h такой промежуток выбрать не удалось, то необходимо повторить вычисления, уменьшая до разумных пределов значение h.

Другой способ отделения корней, - графический. При современном уровне развития вычислительной техники он, по-видимому, является и более предпочтительным. Заключается в построении графика функции на промежутке [ A; B ] и в установлении, исходя из графика, отрезка [ a, b ], на котором он пересекает ось ох.

Замечание. На теореме Больцано-Коши основан один из методов решения нелинейных уравнений, - метод половинного деления. Он состоит в следующем. Пусть установлен отрезок [ a, b ], на котором . Далее, рассматривается середина этого отрезка точка , определяется и из отрезков [ a; c ], [ c; b ] выбирается тот, на котором функция меняет знак.

На выбранном отрезке, обозначим его через [ a₁, b₁ ], величина которого равна , снова рассматривается середина отрезка , определяется и из отрезков [ a₁; c₁ ], [ c₁; b₁ ] выбирается тот, на котором изменяет знак. Он обозначается через [ a₂, b₂ ] и процедура повторяется. На n - ом шаге величина отрезка [ a_n, b_n ] равна . Если она меньше , где - требуемая точность решения уравнения, то процесс последовательного деления завершается и в качестве приближенного решения выбирается .

Дата добавления: 2014-01-06