КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Экстремумы функций многих переменных
Решение задачи оптимизации существенно усложняется, когда критерий оптимальности является функцией нескольких независимых переменных даже при известном аналитическом выражении этой функции. Наибольшие трудности возникают при отсутствии непрерывности у всех или некоторых производных оптимизируемой функции. В последнем случае для решения оптимальной задачи целесообразно использовать методы нелинейного программирования. Ниже рассмотрены необходимые и достаточные условия лишь для непрерывных функций, имеющих к тому же непрерывные производные первого и второго порядков. Для непрерывной функции многих переменных R = R (х2,………….,), (111.2) имеющей непрерывные производные первого и второго порядков по всем переменным (i=1,…, n), необходимым условием экстремума в точкеслужит равенство нуля в этой точке первых производных по всем переменным. Другими словами, точки, в которых возможен экстремум функции (111,2), могут быть определены решением системы уравнений: . i = 1, …, n (111,3) Для того чтобы проверить, действительно ли точка, координаты которой удовлетворяют системе уравнений (111,3), является точкой экстремума функции (111,2), уже недостаточно проверки экстремальности по всем переменным в отдельности. В качестве примера рассмотрим задачу отыскания экстремума функции двух переменных: R = 4 -. (111,4) Система уравнений (111,3) при этом имеет вид: (a) Решением ее являются значения: (б) Точка с координатами (б) является точкой, в которой может быть экстремум. Вычисление вторых производных по каждой из переменных в этом случае дает: . (в) Из соотношений (в) следует, что по каждой из переменных и в точке (б) функция (111, 4) принимает максимальное значение. Однако можно показать, что точка с координатами (б) в действительности не является точкой экстремума. Наиболее наглядно это доказывается поворотом осей координат на угол 45°. В данном случае для новых координат будут справедливы следующие формулы преобразования:
(г) Подставляя выражения (г) в соотношение (111,4) с учетом того, что sin 45° = cos45°= найдем R= 3 + ()2. (111. 5) Очевидно, что при вращении системы координат экстремальные свойства функции R(, х2) не нарушаются. Поэтому, вычисляя производные от функции (111,5) по обеим переменным и приравнивая их нулю, получим систему уравнений 2(= 0, (д) решение которой определяет положение точки, «подозреваемой» на экстремум в новой системе координат: =0. (е)
Вычисление вторых производных по каждой из координат в новой системе теперь дает:
. (ж)
Из уравнений (ж) следует, что изучаемая точка не является экстремальной, так как по переменной — максимум. Нетрудно представить вид поверхности, описываемой выражениями (111, 4) или (111,5). Она представляет собой «седло» (рис. 111-8), имеющее точку, в которой первые производные функции по обеим переменным обращаются в нуль. Разумеется, что использованная процедура поворота осей координат в общем случае непригодна для практического исследования точек, подозреваемых на экстремум. В особенности это относится к задачам, в которых число независимых переменных велико.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 294; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |