Решение линейных уравнений с помощью обратных матриц

Техническая и математическая постановка задачи расчета

Методы решения уравнений установившегося режима

Расчеты установившихся режимов составляют существенную часть общего объёма исследований электроэнергетических систем, выполняемых как на стадии проектирования, так и в процессе эксплуатации этих систем. Эти расчеты необходимы при выборе конфигурации схемы электрической системы и параметров ее элементов, анализе устойчивости и оценке токов коротких замыканий, определении наиболее экономичных режимов её работы.

Кроме того, расчеты установившихся режимов имеют и большое самостоятельное значение, так как позволяют ответить на ряд практически важных вопросов, а именно, что:

· данный режим осуществим, т.е. возможна передача требуемой мощности

от источников электроэнергии к потребителям;

· токи, протекающие по элементам электрической системы, не превышают допустимых даже в тех случаях, когда некоторые из них отключены (в послеаварийных режимах);

· напряжения в узловых точках не выходят за заданные пределы.

Для выполнения расчетов любого установившегося режима необходима информация о схеме и параметрах сети, о потребителях (нагрузках) и источниках электроэнергии (электростанциях). Исходными данными о нагрузках реальных электрических систем обычно служат значения потребляемых ими активных и реактивных мощностей, которые могут приниматься постоянными (S_Н = const) либо зависящими от напряжения. Исходными данными об источниках питания, как правило, служат выдаваемые генераторами в систему активные мощности (P = const) и абсолютные значения напряжений в точках их подключения, хотя в ряде случаев источники питания могут быть заданы и постоянными значениями активных и реактивных мощностей аналогично нагрузкам. Кроме того, один из источников (как правило, наиболее мощная электрическая станция), играющий роль балансирующего, задается комплексным значением напряжения.

С математической точки зрения задача сводится к решению нелинейных уравнений.

Система нелинейных уравнений решается итерационными методами относительно напряжений в узлах. Применяемые в практике расчетов установившихся режимов методы решения этих уравнений основаны на их линеаризации на каждом шаге итерационного процесса.

Независимо от схемы расчетов, на каждом шаге итерационного процесса необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений. По этой причине вычислительная эффективность расчета установившегося режима электрической системы в значительной степени определяется тем, насколько эффективно будет решаться система линейных алгебраических уравнений.

Методы решения этих уравнений можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные.

К прямым относятся методы, позволяющие получить решение в результате конечного числа арифметических операций, зависящего только от вычислительной схемы, а также от порядка и структуры матрицы коэффициентов системы уравнений. В математике методы этой группы называют также точными, поскольку, если исходные данные заданы точно и вычисления выполняются точно, то решение также получается точным. Отметим, что при решении технических задач из-за погрешности задания исходной информации (с допустимой для данной задачи точностью) и неизбежного округления промежуточных результатов вычислений получить точный результат принципиально невозможно, и в этом смысле термин «точный метод» является условным.

К итерационным относятся методы, с помощью которых решение системы линейных алгебраических уравнений получается как предел последовательных

приближений, вычисляемых посредством единообразных операций. В математике итерационные методы называют приближенными, поскольку даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, они позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью.

Решение систем линейных уравнений на ЭВМ наиболее просто реализуется с помощью обратных матриц.

Пусть задана система линейных уравнений:

В матричной форме эта система запишется следующим образом:

AX=B

В этом уравнении A - матрица коэффициентов системы линейных уравнений, B -вектор свободных членов, X -вектор решений системы:

A = B = X =

Из приведенного выше матричного уравнения следует, что вектор решений X может быть получен из очевидного выражения

X=A^-1 B,

где A^-1 - обратная матрица, то есть матрица, которая, будучи умноженной на матрицу A,дает единичную матрицу (единичной называется матрица, у которой все элементы, расположенные по главной диагонали равны 1, а все остальные равны нулю).

Для вычисления обратной матрицы необходимо, чтобы матрица А была неособенной (невырожденной). Как известно, неособенной является матрица, определитель которой отличен от нуля.

Однако с точки зрения достоверности полученных результатов это условие является недостаточным. Поэтому необходима оценка обусловленности матри-

цы коэффициентов А, методы которой рассмотрены ниже.

Дата добавления: 2014-01-06