Дх ду dz

I

В 1746 г. пытался доказать основную теорему алгебры.

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родил;я в Турине в итато-французской семье. В 19 лет стал профессором математики артиллерийской школы в Турине (1755). С 1766 по 1786 г. работал в Берлине, после чего

переехал в Париж. Во время революции участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной (1795), а потом Политехнической школы (1797).

Г 'Ч & ^{V У}

^|А-"^а** "Основные труды в областях математики: математического анализа, вариационного исчисления, алгебры, теории чисел, дифференциальных уравнений, механике. В математическом анализе: (Лагранж дал формулу остаточного члена ряда Тейлора, формулу конечных приращен ш, интерполяционную формулу, ввел способ множителей для решения задали отыскания условных экстремумов. )

/"Ё области дифференциальных уравнений: создал теорию особых решений и разработал метод вариации произвольных постоянных^ алгеГ>ре построил теорию уравнений, обобщением которой является теория Галуа, нашел способ приближенного вычисления корней алгебраического уравнения с помощью непрерывных дробей, метод отделения корней алгебраических уравнений, метод исключения переменных из системы уравнений (составление результата), разложение шщщтШ-щШмштк в т. н. ряд Дагрщша.

В теории чисел: с помощью непрерывных дробей Лагранж рщщл неопределенные уравнения 2-й степени с 2-М5 неизвестными, докалал периодичность разложения квадратичных иррациональностей в непрерывные дроби и т.д.

- '-" "Исходя из общих законов динамики, Лагранж указал 2-е основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, которое теперь называется уравнениями Лагранжа 1-го рода и вы; (ел уравнения в обобщенных координатах — уравнения Лагранжа 2-го рода. г1|,^нову современной теории колебаний составляют зада-ш, объединенные в книге Лагранжа "О малых колебаниях любой системы тел \

Основные труды: "Аналитическая механика" (1788), "Размышления об алгебраическом решении уравнений" (1770), "Теория аналитических

(1797), "Лекции по исчислению функций" (1801), "О способах нахождения наибольших и наименьших величин интегралов" и др.

Лагранжа можно охарактеризовать как первого чистого аналитика.

Еще одним из ведущих математиков XVIII в. является Пьер Симон

.^JJarijiac^ (1749-1827). Сын землевладельца в Нормандии, он учился в Бомоне и

'кшЙЙГс помощью Даламбера стал профессором математики военной школы

в Париже. Легко менял свои политической привязанности, что позволило ему

продолжить свою чисто математическую деятельность при воех

политических применениях во Франции.

^ Два фундаментальных труда Лапласа, в котором дана сводка его исследований и всех предыдущих работ в соответствующих областях: первая - "Аналитическая теория вероятностей" (1812) и вторая - "Небесная механика"(1799-1825 гг. в 5-ти томах). Обоим произведениям сопутствовали развернутые популярные изложения, третья - " Философский огыт относительно вероятностей" и "Системы мира", последний содержит гипотезу о происхождении солнечной системы из туманности (предложенную ранее Кантом).

Второй - является завершением трудов Ньютона, Клеро, Даламбера,

_:^1аграрйжа, Эйлера и самого Лапласа по теории формы Земли, теории Лупы,

по задаче трех тел и теории возмущений планет, теории потенциала. Там

,, _ „ d²v d²v d²v.
рассмотрено уравнение Лапласа: —- н-- г- н----- - 0

.;- - -Третий — легко читающееся введение в теорию вероятностей.

. i,«*............... ------

• *^: " В первом трактате рассмотрены азартные игры, геометрические

вероятности, теорема Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов (Лгжандра). Здесь вводи хя "преобразование Лапласа", которое позже стало основой операционного я Хевисайда.

Лекция № 12
* ■ ^' Математика девятнадцатого столетия

Французская революция и наполеоновская эпоха открыли путь для промышленной революции на европейском континенте. Последняя же побуждала к занятиям физическими науками, создала новые общественные pta<^.^, заинтересованные в науке и техническом образовании. В академическую жизнь ворвались новые идеи, школы и университеты были преобразованы и обновлены. Рост специализации сопровождается разделением на чистую и прикладную математику.

В девятнадцатом столетии мы уже не находим математиков при Королевских дворах или аристократических салонах. Так Бернулли, Лагранж и Лаплас преподавали лишь от случая к случаю. Математики XIX ст. обычно работают в университетах или технических школах и являются одновременно и преподавателями, и исследователями.

^:* ^Упрочение связей между учеными в пределах нации приводш к подрыву интернационализма предыдущих столетия. И хотя международный обмен мыслями продолжается, латинский язык на> ки постепенно заменяе тся национальными языками.

Математики начинают работать в обособленных областях. Если ЛёЙбйица, Эйлера, Даламбера можно назвать <<математиками» в оби,ем смысле слова, то о Коши мы говорим как об аналитике, о Кели как об алгебраисте, о Штейнере как о геометре, а о Канторе - как об-основоположнике теории множеств. Наступило время специалистов по математической физике, за которыми последовали ученые в области математической статистики или математической логики. Только самая высокая степень одаренности помогала преодолеть специализацию, и наиболее мощное воздействие на математиков XIX ст. оказали труды Гау<; са, Римана, Клейна, Пуанкаре.

?•;"■" "Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) родился в 777 г. в немецком городе Брауншвейге и был сыном поденщика. Брауншвейгский герцог обра'ил

внимание на молодого вундеркинда - Гаусса и позаботился об его обучении. В 1795-1798 гг. Гаусс учился в Гёттингене, а в 1799 г. В Хельмштедте он "пёйучил степень доктора. В его диссертации дано первое строгое доказательство так называемой «основной теоремы алгебры». Сама эта теорема восходит к Альберу Жирару, издателю трудов Стевина («Новое открытие в алгебре» 1692 г.). Даламбер пытался дать её доказательство в "■^Щ^Щ'^1 Гауссу нравилась эта теорема и позже он дал ещё два её доказательства, причем в третьем (1816 г.) используются комплексные интегралы, что показывает, как рано Гаусс овладел теорией комплексных чисел. К концу пребывания в ун-те Гаусс подготовил соч. «Арифметические исследования» (1801 г.), в которых собраны все достижения гго Предшественников в области теории чисел, и вместе с тем эта теория настолько обогащена, что эту книгу можно считать началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений 2-й степени; высшим достижением является ^||га&}1^вадратичной взаимности - «золотая теорема». Здесь содержатся та! же

результаты Гаусса о корнях уравнения х" = 1: он дал общие методы решения этих ур-ний и установил связь между ними и правильными многоугольниками. Здесь же получена теорема, что с помощью тол >ко.циркуля и линейки можно построить правильный семнадцатиугольник.

В 1807 г. Гаусс получает кафедру математики и астрономии в Гёттингенском университете и должность директора Гёттингенской астр, обсерватории.

В связи с астрономическими вычислениями, основанными • на §>адШ|кении интеграловХсоотв. дифференциальных уравнении в бесконечные ряды, Гаусс занялся исследованием вопроса о сходимости бесконечных рядов, к-рые он связал с изучением т. н. гипергеом. ряда («О гипергеометрическом ряде», 1812). Эти исследования вместе с основании ми.= jшщхщх! работами Коши и Абеля привели к прогрессу в общей теории рядов. Астр, труды Гаусса (1800-1820) также значительны. Он вычислил орбиту

малой планеты Цереры (открутой 01.01.1801 в первый день нового столетия %Й¥ШЙИ*в Палермо), занимался теорией возмущений, написал книгу «Теория движения небесных тел» (1809), в которой содержатся положения, до сих пор лежащие в основе вычисления планетных орбит.

После 1820 г. Гаусс начал интересоваться геодезией. Одним из г*штлщшов было его изложение метода наименьших квадратов, а самым важным достижением этого периода является теория поверхностей в-«Общих исследованиях относительно кривых поверхностей» (1827 г.), где подход к вопросу резко отличается от подхода Монжа. В этой работе появилась.н. внутренняя геометрия поверхности, введены криволинейные координаты нрдйэ&вольного вида, доказана ф-ла Гаусса-Бонне для геодезического многоугольника, определена полная кривизна в точке поверхности.

В результате совместной научной работы с В. Вебером в области теоретической физики была создана абсолютная система электромагнитных; единиц и построен первый в Германии электромагнитный телеграф. Г. Создал общую теорию магнетизма, заложил основы теории потенциала.

Мн. Исследования Г. не были опубликованы. Научн. Наследие Г. вплоть до 2-й мировой войны тщательно изучалось Гёттингенским ученым обществом и было издано в 11 -ти томах. Наиболее интересны днев} [ик iTaycclcf а также материалы по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций.

По многим вопросам работы Гаусса пересекаются с работами другого выдающегося математика XIX ст. Адриена Мари Лежандра (1752-1833) С 1780г. Лежандр преподавал в военной школе в Париже, а по: же

занимал различные официальные должности: профессора Нормальной школы, экзаменатора Политехнической школы и инспектора геодезических работ.

Как и Гауссу ему принадлежат фундаментальные работы по теории 4исё1#(«Опыт теории чисел», «Теория чисел»), в которых он сформулировал закон квадратичной взаимности. Он написал важные работы по геодезии и

Гвгаеской астрономии. В 1806 г. изложил метод наименьших квадратов. Изучал притяжение эллипсоидов, им введены «функции Лежандра», интересовался эллиптическими и эйлеровыми интегралами, основами и методами евклидовой геометрии. Его обширные руководства в течение jjpjirorp времени были в большом почете, особенно его «Упражнения по ":иН^егр*альному исчислению» и «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах», и поныне остающийся образцовым произведением. В своих «Основах геометрии» он отошел от платоновских идеалов Евклида и дал учебник^элементарной геометрии, исходя из требований современной

Началом нового периода в истории французской математики можно считать учреждение военных школ и академий в конце XVIII в. В 1794 г. была основана Парижская политехническая школа, которая со временем стала образцом для всех технических и военных школ XIX ст. Важной '2&с1'авной частью учебного плана было преподавание теоретической и прикладной математики. Внимание уделялось и исследовательской работе. Лучшие ученые Франции были приглашены, чтобы помочь этой школе. Многие крупные фр. Математики были студентами, профессорами или $>щшфшЕорами Политехнической школы.

Благодаря влиянию Гаспара Монжа (1746-1818) в Политехнической школе начала процветать геометрия. Монж, директор Политехнической школы, был научн. руководителем группы математиков, связанной с этим учреждением. Его карьера началась в военной академии в Мезьере (1768-1789)- где на лекциях по фортификации он имел возможность развивать начертательную геометрию как особую область геометрии. Он опубликовал свои лекции в книге «Начертательная геометрия» (1795-1799). В Мезьере он начал также применять анализ к исследованию пространственных кривых и #о|*е]зкйостей. Эти работы были опубликованы в «Приложении анализа к геометрии» (1809). Это первая книга по дифференциальной геометрии, хотя еще не вполне современная по форме изложения, Монж — один из первых

математиков нового времени, которого мы считаем специалистом: он геометр, и даже его подход к уравнениям в частных производных носит отчетливо выраженный геометрический характер.

Геометрия стала процветать в Политехнической школе благодаря

it-- ■ й.,

'йлиАиМю Монжа. В начертательной геометрии Монжа содержался зародыш проективной геометрии, а его мастерство в применении алгебраических и аналитических методов в теории поверхностей и кривых содействовало развитию аналитической и дифференциальной геометрии.

;**:** *Жан Ашетт и Жан Батист Био развивали аналитическую геометр лю конических сечений и поверхностей 2-го порядка. Шарль Дюпен ("индикатриса Дюпена", "циклоиды Дюпена") применяя методы своего учителя в теории поверхностей, где он нашел асимптотические и сопряженные линии.

Монжа Виктор Понселе стал

геометрии. "Трактат о проективных свойствах фигур" (1822) содержит }же все существенные понятия, относящиеся к этой ветви геометрии (гармоническое отношение, перспективность, проективность, инволюцш, циклические точки на бесконечности).

Наиболее выдающимися математиками, связанными с Политехнической школой были Симон Пуассон, Жозеф Фурье и Огюс ен Коши.

О Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830) мы, прежде всего, вспоминаем '' feat что авторе "Аналитической теории теплоты" (1822). Это математическая

теория теплопроводности, в основном исследование уравнения Аи = к — В

силу общности метода эта книга стала источником всех современных щ физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных

Дата добавления: 2014-01-06