Определение алгебры множеств

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ

Множество всех подмножеств (булеан)

Множество всех подмножеств множества А обозначают ß(А) и называется булеаном данного множества A.

Т.е. по определению: ß(А) = {B | B Ì A}.

Ясно, что ß(А) содержит как пустое множество Ø, так и само множество A.

Пример: пусть A = {a, d, c}.

Тогда ß(А) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.

Очевидно, что если B Ì A, то B Î ß(А) и наоборот.

Из нашего примера видно: если множество A = {a, d, c} содержит 3 элемента, то ß(А) содержит 2³ = 8 элементов. В общем случае, если в множестве A n элементов, то в ß(А) 2ⁿ элементов. Поэтому множество ß(А) часто называют множеством-степенью множества A.

Алгеброй называется система множеств, включающая 2 множества:

где: М – основное множество или носитель, т.е. – множество всех объектов, которые рассматриваются в алегбре. В данном случае – это множестваю

Ω – сигнатура – множество всех операций данной алгебры.

Для алгебры множеств Ω = {U, ∩, \, +,l}.

Множества, связанные между собой знаками операций, называются выражением алгебры множеств. Каждое выражение представляет собой также множество.

Пусть L(x, y, z) – некоторое выражение. Если существует такое множество Р(x, y, z), которое равно L(x, y, z), то эти два множества образуют тождество. В выражениях можно использовать скобки, чтобы определять приоритет операций. Наивысшим приоритетом обладает унарная операция дополнение, затем – пересечение, и низший приоритет у объединения.

Дата добавления: 2014-01-06