Момент импульса материальной точки

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)

Момент силы относительно оси вращения

Момент пары сил

Парой сил называют две равные по величине противоположные по направлению силы, не лежащие на одной прямой.

Пусть на плоскую пластинку (на рис.1.52 она находится в горизонтальной плоскости) в точках 1 и 2 действует пара сил.

Рис. 1.52.

Возьмём произвольно точку О и найдём сумму моментов этих сил относительно нее:. Учитывая, что, получим или. Вектор – это вектор, проведённый от точки приложения силы к точке приложения силы, тогда. Как видим, момент пары сил не зависит от выбора точки О. По правилу буравчика вектор направлен вертикально вверх, а модуль момента пары сил. Обозначим – плечо пары сил (кратчайшее расстояние между линиями действия сил). Учтем, что, и получим

.

Рассмотрим произвольное тело, имеющее ось вращения z, которая закреплена в подшипниках. На это тело действует сила, которую можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие. Силы и не вызывают вращения тела, а вызывают деформацию оси в подшипниках. Сила создаёт вращающий момент.

Рис. 1.53.

Вектор момента силы относительно произвольной точки О, взятой на оси вращения, равен, – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Модуль этого момента (угол между векторами и равен 90°,). Найдём проекцию вектора на ось вращения z (см рис. 1.53):. Из заштрихованного треугольника видно, что, где – кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения (радиус вращения точки приложения силы). Таким образом, момент силы относительно оси вращения равен:

и не зависит от выбора точки О. Этот момент тем больше, чем больше расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Мы наблюдаем это, когда пользуемся отверткой, обычным дверным ключом. Дверь также гораздо легче открыть, нажимая на нее около ручки, а не около петель.

Если сила по отношению к оси z создаёт правовинтовое вращение, то момент этой силы принимает положительное значение, при левовинтовом вращении.

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент относительно оси вращения z равен алгебраической сумме моментов всех сил: с учетом направлений вращения, создаваемых этими силами.

Момент силы, взятый относительно оси, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой оси. Моменты сил и относительно точки О (рис.1.53) не равны нулю, однако проекции этих моментов на ось вращения z имеют нулевое значение. Такие силы не могут вызвать поворот тела относительно данной оси.

Рис. 1.54.

Вектором момента импульса движущейся материальной точки относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор импульса этой точки. Радиус-вектор проведен из точки О к движущейся материальной точке (рис. 1.54):

.

Направление вектора определяется по правилу буравчика, как и для вектора. Модуль вектора момента импульса материальной точки

,

где h — плечо импульса (см. рис. 1.54). Плечо импульса есть кратчайшее расстояние от точки О до линии действия импульса (длина перпендикуляра, опущенного на линию действия импульса).

Моментом импульса материальной точки относительно произвольной оси z называют скалярную величину равную проекции вектора момента импульса, найденного относительно произвольной точки оси z, на эту ось:

.

Здесь r – расстояние от материальной точки до оси вращения, – касательная компонента вектора импульса материальной точки (см. рис. 1.55).

Рис. 1.55.

Если материальная точка движется по окружности, то целесообразно за точку О выбрать центр окружности. В этом случае вектор момента импульса будет направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правовинтовой системой (рис. 1.56), а модуль момента импульса. Линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением, тогда. Обозначив произведение как I и, учитывая, что угловая скорость совпадает по направлению с вектором, запишем

.

Рис. 1.56.

Величину называют моментом инерции материальной точки.

Дата добавления: 2014-01-06