Свободная ось вращения. Главные оси инерции

Теорема Штейнера

Как правило, путем интегрирования легко вычислить момент инерции I ₀ симметричного тела относительно оси, проходящей через центр масс. Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции относительно произвольной параллельной оси. Она формулируется следующим образом:

Момент инерции относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно параллельной оси вращения, проходящей через центр инерции тела, и произведения массы этого тела на квадрат расстояния между осями.

.

Найдем момент инерции диска относительно оси, проходящей через его край перпендикулярно плоскости диска (рис. 1.62). В этом случае a = R и, согласно теореме Штейнера,

Рис. 1.62.

.

Рис. 1.63

Теперь рассчитаем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр инерции (середину) стержня. Для оси, проходящей через конец стержня. Расстояние между осями (рис. 1.63). Тогда по теореме Штейнера. Отсюда.

Видим, что в любом случае момент инерции тела представляется в виде I = kmr ², где r – какой-либо характерный размер тела, а k – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы тела. Единица измерения момента инерции – кг∙м².

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим ее в подшипники. При вращении тела возникают силы взаимодействия между осью и подшипниками, удерживающие ось вращения в заданном положении. В случае вращения однородного симметричного тела вокруг оси симметрии силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать – ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве. Ось вращения, положение которой в пространстве остается неизменным в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями. Они называются главными осями инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.

Так, для прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят так, как показано на рис. 1.63, а моменты инерции относительно этих осей в общем случае не равны.

Рис. 1.63.

У тел с осевой симметрией одной главной осью инерции служит ось симметрии, а остальными – любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции, и перпендикулярные оси симметрии (рис. 1.64). Для этих осей в общем случае. Такое тело называется симметричным волчком. Примером симметричного волчка может служить тело цилиндрической формы или юла.

У тела с центральной симметрией ни одна из главных осей не фиксирована, ими могут служить любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр симметрии. Для этих осей моменты инерции равны. Такое тело называется шаровым волчком. Примером шарового волчка может служить тело в форме шара или в форме куба.

Рис. 1.64.

Если тело вращается в условиях, когда какое-либо воздействие извне отсутствует, то устойчивым оказывается только вращение вокруг главных осей, соответствующих максимальному и минимальному значениям момента инерции. Вращение вокруг оси, соответствующей промежуточному по величине моменту инерции, будет неустойчивым. Можно легко наблюдать это явление, бросая вращающийся прямоугольный брусок (спичечный коробок, коробку из-под конфет).

Под действием внешней силы устойчивым является вращение тела вокруг главной оси, соответствующей максимальному моменту инерции.

Дата добавления: 2014-01-06