Алгебра и сигма-алгебра событий

Свойства операций над событиями.

Некоторые свойства операций над событиями постулируются, другие легко могут быть получены с помощью диаграмм Венна. Приведем без доказательства основные из этих свойств.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пусть является пространством всех элементарных исходов для какого-нибудь случайного эксперимента, каждому результату которого соответствует ровно одна точка . Выделим совокупность подмножеств множества . При этом потребуем, чтобы содержало как случайные события , так и события, полученные в результате применения любой из описанных операций к любым элементам системы.

Совокупность случайных событий (подмножеств множества ), определенных на пространстве элементарных исходов , называется алгеброй событий (или булевой алгеброй – по имени английского математика Дж. Буля (1815 – 1864)), если выполнены следующие условия:

1. ;

2. Если и , то для любых и ;

3. Если , то .

Оказывается, что условий 1 – 3 достаточно для того, чтобы любое конечное число других операций над случайными событиями не выводило бы нас за пределы алгебры . Для экспериментов с конечным числом исходов множество всех подмножеств , включающее пустое множество Æ, составляет алгебру. Поэтому для таких экспериментов любое подмножество множества может интерпретироваться как наблюдаемое событие.

Во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело и с бесконечным числом элементарных исходов и, следовательно, операций. Это потребовало введения понятия s-алгебры событий.

Система подмножеств множества W, называется s-алгеброй, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. Если , то и

3. Если , то .

Таким образом, счетное число операций суммирования или перемножения событий не выводит результирующее событие за пределы s–алгебры.

Лекция 3. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Вероятностное пространство.

Вероятность является количественной мерой возможности появления события. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности события.
Случаи равновероятных исходов.

Классическое определение вероятности связано с определением благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события. Вероятность события равна отношению числа равновозможных благоприятствующих элементарных исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов данного испытания:

,

где ­– число благоприятствующих событию исходов;

– общее число возможных исходов.

Примеры:1. Кубик, 2. Какова вероятность того, что в произвольном двузначном числе две цифры одинаковы (9/90 = 0.1), 3. Из букв слова “дифференциал” выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это а) гласная, б) буква “ф”.

Из определения вероятности события следует, что , поэтому всегда выполняются неравенства , т.е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

ü Если , то событие невозможное.

ü Если , то событие достоверное.

ü Равновозможные элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Дата добавления: 2014-01-06