Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод половинного деления

Метод 10

Решение нелинейных уравнений.

Тема №3

Задача нахождения корней нелинейного уравнения возникает достаточно часто.

Нелинейные уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные. Для алгебраического уравнения - это полином некоторой степени больше единицы.

Хотя алгебраические и трансцендентные уравнения часто решают одними и теми же методами, но существуют численные методы, использующие свойства алгебраических уравнений. Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решения уравнений непосредственно с помощью формул.

Пример: Решение квадратного уравнения по формулам Виета. В итерационных методах задаётся процедура решения в виде многократного применения некоторой процедуры. В этом случае нахождение корня уравнения состоит из двух этапов.

1 этап: отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка.

2 этап: уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности. Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами:

1) из физических соображений

2) из решения аналогичной задачи при других исходных данных;

3) графическим методом.

Если удалось найти две точки, образующих отрезок, на концах которого имеет различный знак, то в качестве начального приближения можно взять середину

 

y
b
a
y
x

 

Если знак разный, то это гарантирует, что между ними будет хоть один корень.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате получается последовательность приближенных значений корня. Если эта последовательность с ростом (числа итераций) приближается к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится. К сожалению, часто бывает, что итерационный процесс не сходится. Поэтому надо следить за условиями сходимости и предусмотреть возможность расхождения итерационного процесса.

 

Метод половинного деления является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений, и один из самых распространённых.

 

Допустим, нам удалось найти отрезок, на концах которого функция имеет разный знак. В этом случае можно быть уверенным, что на отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения и (если - непрерывная)

 

 

Y=F(x)
b
a
y
x

 

Число корней n+1, n – четное.

В качестве начального приближения берем точку, находящуюся на середине отрезка

 

 

и получаем два отрезка и затем проверяем на концах, какого из этих двух отрезков функция имеет разный знак. Если знак у разный на отрезке, то полагаем и получаем новый отрезок, содержащий. Если на отрезке, то

Полученный сокращенный отрезок делим пополам и получаем.

 


If, then

 

else,

 

 

При этом надо учитывать, что итерационный процесс может быть расходящимся. Но метод половинного деления обладает значительным преимуществом – он всегда сходится. На итерационном шаге с номером будет достигнута точность

Недостатком этого метода является достаточно медленная сходимость.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Метод наименьших квадратов | Метод Ньютона (касательных)
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 419; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.