Метод Гаусса

Метод 14

Итерационные

в итерационных методах решение находят путем последовательных приближений. Накапливание погрешности не происходит, и с помощью них решают систему с большим числом уравнений и для решения плохо-обусловленных систем. Однако сходимость итерации может быть очень медленной. Поэтому время счета может быть очень большим. Другим недостатком является то, что с их помощью решается ограниченный класс уравнений.

Например:

Уравнений с преобладанием диагональных элементов, либо системы со слабо заполненными матрицами.

Метод Крамера относится к прямому методу, однако на практике метод Крамера практически никогда не используется, так как он требует большого объёма вычислений. Оценим объём вычислений с помощью метода Крамера. Для применения этого необходимо вычислить определитель, а для вычисления каждого определителя необходимо сделать произведений, а число полученных слагаемых. Значит, число арифметических операций будет с ростом резко возрастает при

Наиболее распространенным среди прямых методов является метод Гаусса.

Метод Гаусса основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный. Прямой ход – матрица приводится к треугольному виду, при обратном последовательно находятся неизвестные величины.

Прямой ход состоит в следующем:

1) на первом шаге с помощью первого уравнения исключается из всех последних уравнений системы, в результате получается новая система, имеющая то же решение, но в первом столбце матрицы будет не нулевым только первый элемент.

2) на втором шаге с помощью второго уравнения исключается из всех уравнений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в левой части последнего - го уравнения не останется лишь один член с неизвестным.

Рассмотрим процесс исключения подробнее:

На -ом шаге исключается

Запишем -ое уравнение:

Исключим с помощью этого уравнения из уравнения с номером

Для исключения из -го уравнения вычитаем -ое, умноженное на.

После такого вычитания первые слагаемые сокращаются. Запишем значение коэффициенты перед, используем для него прежнее обозначение

При этом изменяется свободный член

По завершению прямого хода получается система с треугольной матрицей. Далее производится обратный ход метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных, начиная с. Сначала находится. Далее, используя это значение, находится и так далее.

Например:

На - ом шаге обратного хода неизвестные находятся с помощью выражения.

В процессе исключения неизвестных приходится делить на диагональный элемент, который может оказаться равным нулю. Чтобы исключить эту ситуацию, необходимо на каждом шаге прямого хода менять расположение уравнений таким образом, чтобы диагональный элемент не был равным нулю, а лучше, чтобы он имел максимально возможное значение.

Перестановка уравнений должна быть предусмотрена в вычислительном алгоритме и метод Гаусса, в котором производится перестановка уравнений таким образом, чтобы диагональный элемент имел максимальное значение, называется метод Гаусса с выбором главного элемента.

В методе Гаусса объём вычислений пропорционален. Существует практически значимые случаи, когда объём вычислений при решении СЛАУ можно резко сократить.

Дата добавления: 2014-01-06