Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Проверка функции на непрерывность




Эквивалентные бесконечно малые функции.

Замечательные пределы.

Предел функции.

ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

 

1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

.

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число - общим, или -м членом данной последовательности.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство

Предел числовой последовательности обозначается или при .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех таких, что , верно неравенство:

.

Этот предел функции обозначается или при .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию

верно неравенство:

.

Этот предел функции обозначается или при .

 

Пример 6.1. Найти предел функции

 

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

 

 

Пример 6.2. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

 

 

или

 

 

Пример 6.3. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 6.2.

 

Пример 6.4. Найти предел функции

 

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

 

Пример 6.5. Найти предел функции

 

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

 

 

 

2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

 

Первым замечательным пределом называется:

 

 

Число (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности:

.

Пример 6.6 Найти предел функции

 

Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом .

 

 

Пример 6.7. Найти предел функции

 

Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

 

Имеем , тогда

 

 

 

3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Определение.

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.

 

Пример 6.8. Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции

 

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как и , то

 

 

 

4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

 

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке (т.е. существует ;

2) имеет конечный предел функции при ;

3) этот предел равен значению функции в точке .

 

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).

К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равнее значению функции в этой точке.

 

 

Пример 6.9. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график

Решение: Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках и .

Для точки имеем:

 

 

Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.

Для точки находим:

 

 

Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.

График данной функции изображен на рис. 1.

 

 
 

 

 


Рис. 3.

 

Пример 6.10. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках

 

Решение:

Для точки имеем:

 

 

 

т.е. в точке функция имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв).

 

Для точки имеем:

 

 

 

 

Следовательно, в точке функция непрерывна.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2419; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.047 сек.