Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объема тел вращения

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Формула Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

ТЕМА 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

8. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА, ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ.

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис. 1).

Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем точку и положим где . Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции на .

Каждое отдельное слагаемое интегральной суммы в этом случае равно площади прямоугольника со сторонами и (рис. 2).

Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков .

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е.

При этом число называется нижним пределом, число - верхним пределом; функция - подынтегральной функцией, выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции на отрезке .

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательная на отрезке , где , численно равен площади под кривой на .

Действительно при стремлении к нулю сумма площадей стремится к площади ограниченной под кривой .

9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей:

=+

4. Если на отрезке , где , , то:

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , (где ), то найдется такое значение , что

10. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений.

.

Пример 11.1. Вычислить: а); б)

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции имеет вид . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница возьмем такую первообразную у которой . Тогда:

.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем используя формулу . Применяя формулу Ньютона-Лейбница получаем:

4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ФОРМУЛА ИНТЕГИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

Теорема 1. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда справедливо следующее равенство:

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Пример 11.2. Вычислить:

а) б)

Решение:

а) Воспользуемся заменой переменной .

Тогда и . Если , то и, если , то . Выполняя замену переменных получим:

Отметим, что полагая, можно также считать, что . При этом все условия теоремы 1 выполнены и, поскольку в этом случае , получаем:

б) Положим . Тогда , и, если , то , и если , то . Выполняя замену, получаем:

Теорема 2. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда:

,

где .

Формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 11.3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям: положим , . Тогда , получим:

5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница. Однако её применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается ещё более предпочтительным в связи с возрастающими возможностями вычислительной техники, реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

Рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенного интеграла – формулу трапеций.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Предположим дополнительно, что на . Тогда численно равен площади под кривой на отрезке . Мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной поступим следующим образом: разобьем отрезок интегрирования на равных частей длиной и на каждом из отрезков разбиения , где ; , заменим участок кривой хордой, стягивающей концевые точки (рис.3)

Рис. 3.

Тогда , где - площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения). И площади трапеций можно найти по формуле:

; ,…,

Тогда:

.

Вынося множитель , заметим, что все слагаемые данной суммы, отличные от и , встречаются в ней дважды. Приводя подобные и учитывая что окончательно получаем:

,

где , , . Окончательная формула носит название формулы трапеций. Она получена нами в предположении неотрицательности функции , но можно также доказать, что этот результат остается справедливым также и в общем случае.

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

В зависимости от того какого вида функция (неотрицательная, неположительная, общего вида) возможны различные варианты нахождения площадей плоских фигур.

1. Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь под кривой на численно равна определенному интегралу , т.е.

2. Пусть функция неположительная и непрерывна на . Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Функция уже неотрицательна на , а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади . Тогда

, т.е. .

3. Пусть на отрезке задана непрерывная функция общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна нулю.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

.

Пример 11.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

РЕШЕНИЕ.

Построим графики функций (рис. 4)

Координаты точек пресечения кривых найдем из системы уравнений:

Решением будут координаты двух точек: и . Проецируя фигуру на ось абсцисс видим, что искомая площадь – это площадь фигуры, заключенной между кривыми; при этом на отрезке .

Применяем формулу , получаем:

.

Дата добавления: 2014-01-06