Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Малюнок № 2




Х

Визначення частки цілого невід’ємного числа на натуральне число через розбиття множини на класи, що попарно не перетинаються. Ділення на множині цілих невід’ємних чисел, зв'язок ділення з множенням. Теореми про існування та єдиність частки.

С с с

Отже, (а+b)×с=а×с+b×с. Рівність (1) пропонуємо довести самостійно. Теорему доведено.

Прийняті нами означення суми і різниці можна поширити на множину цілих невід’ємних чисел, де Z 0=N0 =N È {0}. Оскільки 1) АÈÆ=ÆÈА=А, то а+0=0+а=а; 2) А\Æ=А, а тому а-0=а.

 

9. На практиці досить часто доводиться розв'язувати задачі таких двох видів: 1) дано скінченну множину А і її слід розбити на певне число еквівалентних між собою підмножин без спільних елементів, а потім визначити потужність кожної із цих підмножин. Такі задачі називають задачами на ділення на рівні частини; 2) дано власну підмножину В скінченної множини А і необхідно визначити скільки всіх підмножин без спільних елементів, еквівалентних множині В, має множина А. Такі задачі називають задачами на ділення на вміщення.

Таким чином, в обох випадках множина А повинна бути представлена у вигляді об'єднання скінченної кількості еквівалентних між собою множин: А=В1ÈВ2ÈВ3È...ÈВk, причому В123~...~Вk. При розв'язування першої задачі (задачі на ділення на рівні частини) завдання полягає в тому, щоб визначити потужність кожної із еквівалентних підмножин. Розв'язування другої задачі (задачі на ділення на вміщення) зводиться до відшукання кількості таких еквівалентних між собою підмножин. Якщо перейти до характеристики потужності множини А і вказаних підмножин, тобто позначити n(А)=а, n(В1)=n(В2)=n(В3)=...=n(Вk)=x, то ми приходимо до поняття нової арифметичної операції на множині цілих невід’ємних чисел, а саме до операції ділення на натуральне число. У першому випадку число а=n(А) слід представити у вигляді суми відомого числа b однакових доданків, кількість яких (х) необхідно знайти. При розв'язуванні другої задачі число а слід представити у вигляді суми невідомого числа (х) однакових доданків, кожен з яких дорівнює b. Символічно це можна записати в таблиці (див. малюнок № 2).

Отже, розв'язування задачі на ділення на рівні частини зводиться до відшукання за відомим добутком і відомим другим множником невідомого першого множника, а задачі на ділення на вміщення – до відшукання за відомим добутком і відомим першим множником невідомого другого множника (див. малюнок №2). Обидві задачі розв'язуються дією, оберненою до дії множення, а саме: х=а:b.

 

а=х+х+х+...+х=х×b   b а=b+b+b+...+b=b×х
 
 


 

 

Тепер можна ввести такі означення.

Означення 1: часткою натуральних чисел а і b називається число елементів кожної із еквівалентних підмножин, на які розбито множину А, де а=n(А) і b – число підмножин, на які розбито множину А.

Означення 2: часткою натуральних чисел а і b називається число еквівалентних підмножин, на які розбито множину А, де а=n(А) і b=n(В1)=n(В2)=n(В3)=...=n(Вх).

Визначаючи частку натуральних чисел, ми використовували операцію розбиття множини на підмножини, які попарно не перетинаються. Разом з тим, ми показали, що в обох випадках приходимо до дії, оберненої до дії множення. Отже, можна ввести таке означення.

Означення 3: часткою від ділення натуральних чисел а і b називається таке третє натуральне число а:b, яке в добутку з числом b дає нам число а, тобто b×(а:b)=а.

Число а називають діленим, число b – дільником, а число а:b – часткою. Операція, за допомогою якої знаходиться частка, називається операцією ділення на множині натуральних чисел. Зазначимо, що всі прийняті нами означення рівносильні між собою, але в жодному із них не говориться про існування та єдиність операції ділення. Саме тому, розглянемо це питання. Дія ділення зводиться до розв'язування лінійного рівняння bх=а. Із курсу математики середньої школи відомо, що це рівняння: 1) при а=b=0 набуває вигляду 0×х=0 і має нескінченну множину розв’язків. Отже, вираз 0:0 не має жодного конкретного значення, тобто не має смислу. Саме тому, ділити на нуль не можна!; 2) при а=0 і b¹0 рівняння набуває вигляду b×х=0 і має єдиний розв’язок х=0; 3) при а¹0 і b¹0 рівняння bх=а матиме розв’язок на множині натуральних чисел тоді, коли а ділиться націло на b. Для відповіді на запитання про існування частки слід довести наступну теорему.

Теорема 10 (про існування частки): частка цілого невід’ємного числа а на натуральне число b існує тоді і тільки тоді, коли а ділиться націло на b.

Доведення:

Доведення теореми буде складатися із двох частин: у першій слід довести достатню умову, а у другій – необхідну умову існування частки. Доведемо достатню умову, яка формулюється так: “ якщо ціле невід’ємне число а ділиться націло на натуральне число b, то частка а:b існує ”.

За умовою а ділиться націло на b. Це означає: існує таке число с, що b×с=а. Отже, с=а:b. Достатню умову доведено.

Доведемо необхідну умову, яка формулюється так: “ якщо частка а:b існує, то число а ділиться націло на b ”. За умовою частка а:b існує. Це означає, що b×(а:b)=а, тобто число а ділиться націло на число b. Необхідну умову доведено. Таким чином, теорему доведено повністю.

Теорема 11 (про єдиність частки): якщо частка від ділення цілого невід’ємного числа а на натуральне число b існує, то вона єдина.

Доведення:

Доведення цієї теореми проведемо методом від супротивного так, як ми це робили при доведенні єдиності різниці. Припустимо, що частка не єдина, тобто існує принаймні дві частки. Нехай а:b=с1 і а:b=с2, причому с1¹с2. Згідно означення частки маємо а=bс1 і а=bс2. Звідси 1=bс2. Отже, с12, а це суперечить вибору чисел с1 і с2. Ця суперечність дозволяє стверджувати, що наше припущення про не єдиність частки було хибним. Таким чином, якщо частка існує, то вона єдина. Теорему доведено.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 307; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.