Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доверительные интервалы




1. Общее понятие

Точечные оценки параметров распределения являются первоначальными ориентировочными результатами обработки наблюдений. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой степенью точности они дают оцениваемый параметр. Если для большого числа наблюдений обычно бывает достаточной для практических выводов (в силу несмещенность, состоятельности, эффективности), то для выборок с малым объемом вопрос о точности оценок очень существенен.

Поставленная задача в математической статистике решаются так. Пусть - неизвестный параметр распределения. По сделанной выборке находят числа и так, чтобы выполнялось равенство: .

Числа и называются доверительными границами, а интервал доверительным интервалом для параметров . Число называется надежностью сделанной оценки.

За обычно принимается 0,95; 0,99; 0,999. Тогда практически достоверно, что . Поэтому число будет давать нам значение с точностью и практически достоверно.

Замечание. Числа и найдены по выборке , следовательно, сами – случайные величины. То есть интервал тоже случаен. Он может покрывать или не покрывать параметр . Именно в таком смысле понимают случайное событие , состоящее в том, что доверительный интервал покрывает число .

В силу центральной предельной теоремы наиболее часто встречаются нормально распределенные случайные величины. Поэтому будем находить доверительные интервалы для параметров нормального распределения – математического ожидания и дисперсии .

2. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть распределена по нормальному закону, т.е. . Известна . Выборыможет рассматриваться как независимых случайных величин, распределенных также, как .

Поэтому

.

Для среднего арифметической выборки выполняются равенства .

Число в конкретных примерах подбирается по таблице нормального распределения . Смысл полученного результата состоит в следующем: с надежностью доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр , точечная оценка этого параметра дается значение с точностью и надежностью . Доверительные границы определяются по формулам:

.

Пример. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметром . Сделана выборка . Найдем с надежностью доверительный интервал для неизвестного параметра этого распределения.

Из равенства или по таблице . Тогда точность оценки есть .

Тогда .

Если для сделанной выборки , то с надежностью 0,95 интервал (1,5; 3,1) покрывает параметр с точностью до 0,8 и надежностью 95 %.

Литература

    1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. М.: Высшая школа, 1969г.
    2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1998г.

3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Высшая школа, 1982г.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). М.:Высшая школа, 1973г.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1998г.

7. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчета). М.: Высшая школа, 1983 г.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 395; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.